Матроиды структуры токов и напряжений

1.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
ЭНЕРГЕТИКИ
Матроиды структуры токов и напряжений

2.

Теория матроидов
Матроид – пара { , B } , где: - не пустое конечное множество, а B - не пустая
совокупность его подмножеств, называемых базами, которые удовлетворяют
следующим условиям:
- никакая база не содержит в качестве подмножества другую базу;
- если B1 и B2 - две базы, а {e} B1 , то существует { f } B2 , такое что заменяя его
на {e} подучим так же базу.
Поскольку существует два способа описания структуры токов и напряжений, то
различают матроиды токов и матроиды напряжений, связанные между собой законом
сохранения энергии.
Ai ( О ) 0 M I M M U
*
I
Au ( О ) 0 M U M U* M I
uk ik 0
k
M I
MU

3.

Построение матроида токов
Предложим способ построения матроида токов M I .
Пусть Ψ - множество идентификаторов основных ветвей расчетной схемы, а базы – это всевозможные
максимальные по включению наборы идентификаторов тех ветвей, относительно токов которых возможно
решение системы уравнений
Ai ( О ) 0
Рассмотрим схему колебательного контура, в которой резистор подключен через ИТ. Имеем: 1, 2,3, 4
Структура токов и напряжений основных ветвей этой схемы задана совокупностью СОЧ О :
О [ 2 3][ 2 4][ k5,6 1 2] ,
которой соответствует система уравнений
i i 0
2
3
Ai ( О ) 0 i2 i4 0
i k i 0
2 5,6 1
Решим систему относительно токов i1, i2 и i3:
из первого уравнения: i3 i2 , поскольку из второго уравнения i2 i4
В итоге получим:
i3 i4
i2 i4
1
1
i
k
i
k
i4
1
5,6
2
5,6
или
, то
1
i1 k5,6
i4
i2 i4
i i
4
3
i3 i4 .

4.

Построение матроида токов
Помимо токов i1, i2 и i3 исходную систему уравнений
i2 i3 0
Ai ( О ) 0 i2 i4 0
i k i 0
2 5,6 1
можно решить и относительно других наборов токов:
i1, i2, i4 ; i1, i3, i4 ; i2, i3, i4 .
В этом случае будем иметь следующее множество баз:
BM
В итоге матроид токов
MI
будет иметь вид:
I
1 1 1 2
2 2 3 3
3 4 4 4
.
1 1 1 2
M I 1, 2,3, 4 ; BM 2 2 3 3
I
3 4 4 4

5.

Обобщенный подход
к формированию уравнений описания переходных процессов
Из множества возможных баз оставим одну, которая удовлетворяет установленному ранее приоритету
ветвей
.
ЗК, E, C, R, L, J, РК .
В рассматриваемом примере это B 3, 2, 1 .
Дополнение базы B матроида токов MI до множества Ψ называется кобазой и обозначается B*.
В рассматриваемом примере это B* 4 .
Наборы идентификаторов токов ветвей, входящие в каждое уравнение системы Ai { O } 0 , разрешенной
относительно токов ветвей базы, образуют базисные коциклы:
i3 i4
3 4
Ai ( О ) 0 i2 i4
2 4
1
1
i
k
i
1
k
5,6 4
5,6 4
1
.
Совокупность СОЧ Ʌ является цифровым описанием базисных коциклов матроида токов MI :
.
1
3 4 2 4 1 k5,6
4

6.

Обобщенный подход
к формированию уравнений описания переходных процессов
Наборы идентификаторов напряжений ветвей, входящие в каждое уравнение системы
Ai ( О ) 0
uk ik 0,
k
разрешенной относительно напряжений ветвей кобазы, образуют базисные циклы:
i3 i4
Ai ( О ) 0 i2 i4
1
i
k
5,6 i4
1
u1 i1 u2 i2 u3 i3 u4 i4 0
1
1
u1 k5,6
i4 u2 i4 u3 ( i4 ) u4 i4 (k5,6
u1 u2 u3 u4 ) i4 0
1
1
1
k5,6
u1 u2 u3 u4 0 u4 k5,6
u1 u2 u3 4 k5,6
1 2 3
Совокупность СОЧ Θ является цифровым описанием базисных циклов матроида токов MI :
1
4 k5,6
1 2 3