Первообразная и интеграл

1. Первообразная и интеграл

ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
РАБОТУ ВЫПОЛНЯЛ: ДЕСЯТКОВ АРТЕМ

2. Понятие первообразной

ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ
Функцию F(x) называют первообразной для функции
f(x) на интервале (a; b), если на нем производная
функции F(x) равна f(x):
F ( x) f ( x)
Операцию, обратную дифференцированию называют
интегрированием.

3. ПРИМЕРЫ ПЕРВООБРАЗНОЙ

4.

Примеры
1. f(x) = 2x; F(x) = x2
F (x)= (x2) = 2x = f(x)
2. f(x) = – sin x; F(x) = сos x
F (x)= (cos x) = – sin x = f(x)
3. f(x) = 6x2 + 4; F(x) = 2x3 + 4x
F (x)= (2x3 + 4x) = 6x2 + 4 = f(x)
4. f(x) = 1/cos2 x; F(x) = tg x
F (x)= (tg x) = 1/cos2 x= f(x)

5.

6. Неопределенный интеграл

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Неопределенным интегралом от непрерывной на
интервале (a; b) функции f(x) называют любую ее
первообразную функцию.
f ( x )dx F ( x ) c
Где С – произвольная постоянная (const).

7.

Примеры
1. Adx Ax C ; Ax C A
x
x
x
x
2. e dx e С; e C e
3. sin xdx cos x С ;
4
x
4. x dx
С;
4
3
cos x C
sin x
tg x C
1
2
cos x
x
1
С 4x 3 x 3
4
4
1
5.
dx tg x C ;
2
cos x
4

8. Таблица первообразных

ТАБЛИЦА ПЕРВООБРАЗНЫХ
F(x)
x n 1
C
n 1
2x x
C
3
sin x C
cos x C
tgx C
ctgx C
F(x)
f(x)
xn
ax C
ax
lna
х
1
C
x
ln x
f(x)
cos x
ex C
sin x
1
сos 2 x
1
sin2 x
C
Cx
loga x C
1
x lna
arcsinx C
e
x
1
1 x2

9.

Три правила нахождения
первообразных
1º Если F(x) есть первообразная для f(x), а G(x) –
первообразная для g(x), то F(x) + G(x) есть
первообразная для f(x) + g(x).
2º Если F(x) есть первообразная для f(x), а k –
постоянная, то функция kF(x) есть первообразная
для kf.
3º Если F(x) есть первообразная для f(x), а k и b –
постоянные, причем k ≠ 0, то функция
есть первообразная для f(kx + b).
1
F(kx + b)
k

10. Определенный интеграл

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
b
b
f
(
x
)
dx
F
(
x
)
F
(
b
)
F
(
a
)
a
a
– формула Ньютона-Лейбница.
Геометрический
смысл
определенного
интеграла
заключается в том, что определенный интеграл равен
площади криволинейной трапеции, образованной линиями:
сверху ограниченной кривой у = f(x),
и прямыми у = 0; х = а; х = b.

11. Вычисление определенного интеграла

ВЫЧИСЛЕНИЕ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
2
( 3x
2
3
2
2
2x 1 )dx ( x x x )
1
1
( 23 22 2 ) (13 12 1) 6 1 5
10
2( x 6 ) x 6
3 ( x 6 )dx
3
10
3
2(10 6 ) 10 6 2( 3 6 ) 3 6 80
2
18 7
3
3
3
3