Временные характеристики линейных цепей

1. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ

2. Единичные функции и их свойства

Важное место в теории линейных цепей занимает исследование
реакции этих цепей на идеализированные внешние воздействия,
описываемые так называемыми единичными функциями.
Единичной ступенчатой функцией (функцией Хевисайда)
называется функция:
0 при t t 0 ;
1 t t 0
1 при t t 0 .
График функции 1(t-t0) имеет вид ступеньки или скачка, высота
которого равна 1. Скачок такого типа будем называть
единичным.

3. Единичные функции и их свойства

В связи с тем, что произведение любой ограниченной функции
времени f(t) на 1(t-t0) равно нулю при t<t0 и f(t) при t t0:
0 при t t 0 ;
f t 1 t t 0
f t при t t 0 .
функцию Хевисайда 1(t-t0) удобно использовать для
аналитического представления различных внешних воздействий
на цепь, значение которых равно нулю до коммутации и
скачкообразно изменяется в момент коммутации.
При подключении цепи к источнику постоянного тока или
напряжения внешнее воздействие на цепь
0 при t t 0 ;
x t
X const при t t 0 .
Внешнее воздействие такого вида называется неединичным
скачком. Используя функцию Хевисайда, выражение можно
представить в виде
x t X 1 t t 0

4. Единичные функции и их свойства

Если при t=t0 в цепь включается источник гармонического тока
или напряжения
0 при t t 0 ;
x t
X m cos t при t t 0 .
то внешнее воздействие на цепь можно представить в виде:
x t 1 t t 0 X m cos t
Если внешнее воздействие на цепь в момент времени t=t0
скачкообразно изменяется от одного фиксированного значения
X1 до другого X2, то
x t X1 X 2 X1 1 t t 0

5. Единичные функции и их свойства

Внешнее воздействие на цепь, имеющее форму прямоугольного
импульса высотой X и длительностью tи (рис.), можно
представить в виде разности двух одинаковых скачков
x1 t X 1 t t 0 ;
x 2 t X 1 t t 0 t и ,
сдвинутых во времени на tи
x t x1 t x 2 t X 1 t t 0 1 t t 0 t и

6. Единичные функции и их свойства

Рассмотрим прямоугольный импульс длительностью и высотой
1/ t (рис.). Очевидно, что площадь этого импульса равна 1 и не
зависит от t. При уменьшении длительности импульса его
высота возрастает, причем при t→0 она стремится к
бесконечности, но площадь остается равной 1.
Импульс бесконечно малой длительности, бесконечно большой
высоты, площадь которого равна 1, будем называть единичным
импульсом. Функция, определяющая единичный импульс,
обозначается (t-t0) и называется δ-функцией или функцией
Дирака.
0 при t t 0 ;
t t0
при t t 0 .
t t dt 1
0

7. Единичные функции и их свойства

1 t t 0 1 t t 0 t d
t t 0 lim
1 t t 0
t 0
t
dt
1 t t 0
t
t t dt
0
с помощью δ-функции можно выделять значения функции f(t) в
произвольные моменты времени t0. Эту особенность δфункции обычно называют фильтрующим свойством.
При t0 =0 операторные изображения единичных функций имеют
особенно простой вид:
1 t 1/ p; t 1

8. Переходная и импульсная характеристики линейных цепей

Переходной характеристикой g(t-t0) линейной цепи, не
содержащей независимых источников энергии, называется
отношение реакции этой цепи на воздействие неединичного
скачка тока или напряжения к высоте этого скачка при нулевых
начальных условиях:
g t t 0 s1 t / X
Переходная характеристика цепи численно равна реакции
цепи на воздействие единичного скачка тока или напряжения.
Размерность переходной характеристики равна отношению
размерности отклика к размерности внешнего воздействия,
поэтому переходная характеристика может иметь размерность
сопротивления, проводимости или быть безразмерной
величиной.

9. Переходная и импульсная характеристики линейных цепей

Переходной характеристикой g(t-t0) линейной цепи, не
содержащей независимых источников энергии, называется
отношение реакции этой цепи на воздействие неединичного
скачка тока или напряжения к высоте этого скачка при нулевых
начальных условиях:
g t t 0 s1 t / X
Переходная характеристика цепи численно равна реакции
цепи на воздействие единичного скачка тока или напряжения.
Размерность переходной характеристики равна отношению
размерности отклика к размерности внешнего воздействия,
поэтому переходная характеристика может иметь размерность
сопротивления, проводимости или быть безразмерной
величиной.

10. Переходная и импульсная характеристики линейных цепей

Импульсной характеристикой h(t-t0) линейной цепи, не
содержащей независимых источников энергии, называется
отношение реакции этой цепи на воздействие бесконечно
короткого импульса бесконечно большой высоты и конечной
площади к площади этого импульса при нулевых начальных
условиях:
h t t 0 s t / Aи
Импульсная характеристика цепи численно равна реакции
цепи на воздействие единичного импульса.
Размерность импульсной характеристики равна отношению
размерности отклика цепи к произведению размерности
внешнего воздействия на время.

11. Переходная и импульсная характеристики линейных цепей

Подобно комплексной частотной и операторной характеристикам
цепи, переходная и импульсная характеристики устанавливают
связь между внешним воздействием на цепь и ее реакцией,
однако в отличие от комплексной частотной и операторной
характеристик
аргументом
переходной
и
импульсной
характеристик является время t, а не угловая ω или комплексная
p частота. Так как характеристика цепи, аргументом которых
является время, называются временными, а аргументом которых
является частота (в том числе и комплексная) — частотными
характеристиками, то переходная и импульсная характеристики
относятся к временным характеристикам цепи.
g t H p / p; h t H p

12. Переходная и импульсная характеристики линейных цепей

Таким образом, импульсная характеристика цепи hkv(t) — это
функция, изображение которой, по Лапласу, представляет собой
операторную характеристику цепи Hkv(p), а переходная
характеристика цепи gkv(t) − функция, операторное изображение
которой равно Hkv(p)/p.

13. Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие

14. Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие

Внешнее воздействие на цепь представляют в виде линейной
комбинации однотипных элементарных составляющих:
x t k x k t
k
а реакцию цепи на такое воздействие находят в виде
линейной комбинации частичных реакций на воздействие
каждой
из
элементарных
составляющих
внешнего
воздействия в отдельности:
s t ks k t
k
В качестве элементарных составляющих можно выбирать
внешние воздействия, наиболее широкое распространение
получили элементарные (пробные) воздействия в виде
гармонической функции времени, единичного скачка и
единичного импульса.

15. Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной характеристике

Рассмотрим произвольную линейную электрическую цепь, не
содержащую независимых источников энергии, переходная
характеристика g(t) которой известна. Пусть внешнее
воздействие на цепь задается в виде произвольной функции
x=x(t), равной нулю при t<t0 и непрерывной при всех t, за
исключением точки t=t0, где может иметь конечный разрыв.

16. Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной характеристике

Функцию x(t) можно приближенно представить в виде суммы
неединичных скачков или, что то же самое, в виде линейной
комбинации
единичных
скачков,
смещенных
один
относительно другого на :
x t x t 0 1 t t 0 x k 1 t k
k
В соответствии с определением переходной характеристики
реакция цепи на воздействие неединичного скачка,
приложенного в момент времени t= k, равна произведению
высоты скачка на переходную характеристику цепи g(t- k).
Следовательно,
реакция
цепи
на
воздействие,
представляемое суммой неединичных скачков (6.114), равна
сумме произведений высот скачков на соответствующие
переходные характеристики:
dx
s t x t0 g t t0
g t k
k dt t k

17. Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной характеристике

Очевидно, что точность представления входного воздействия в
виде суммы неединичных скачков, как и точность
представления реакции цепи, возрастает с уменьшением шага
разбиения по времени . При →0 суммирование
заменяется интегрированием:
dx
s t x t0 g t t0
g t k d
d
t0
t
Выражение известно под названием интеграла Дюамеля
(интеграла наложения). Используя это выражение можно
найти точное значение реакции цепи на заданное
воздействие x=x(t) в любой момент времени t после
коммутации.
Интегрирование
в
осуществляется
на
промежутке t0< <t, причем выражения для и g(t- ) получаются
из выражении для x(t) и g(t) путем замены t на и t- .

18. Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной характеристике

С помощью интеграла Дюамеля можно определить реакцию
цепи на заданное воздействие и в том случае, когда внешнее
воздействие на цепь описывается кусочно-непрерывной
функцией, т. е. функцией, которая имеет конечное число
конечных разрывов. В этом случае интервал интегрирования
необходимо разбить на несколько промежутков в
соответствии с интервалами непрерывности функции x=x(t) и
учесть реакцию цепи на конечные скачки функции x=x(t) в
точках разрыва.

19. Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной характеристике

Пример
0 при t 0;
x1 t при 0 t t1;
x t
x1 t при t1 t t 2 ;
0 при t t .
2
t<0
0<t<t1
s=s(t) 0
dx1
s t x1 0 g t
g t d
d
0
t

20. Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной характеристике

Пример
t1<t<t2
dx1
s t x1 0 g t
g t d
d
0
t1
dx 2
g t d
d
t1
t
x 2 t1 x1 t1 g t t1
t>t2
dx1
g t d
d
0
t1
s t x1 0 g t
dx 2
x 2 t1 x1 t1 g t t1
g t d x 2 t 2 g t t 2
d
t1
t2

21. Определение реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее импульсной характеристике

Пусть внешнее воздействие на линейную электрическую цепь импульсная
характеристика ℎ