Решение систем линейных уравнений

1.

2.

Методы решения:
1)Матричный метод решения.
2)Метод Крамера.
3) Метод Гаусса

3. 1)Матричный метод решения.

А 1
Запишем заданную систему в матричном виде:
АХ=В,
где А – основная матрица коэффициентов системы;
Х – матрица-столбец неизвестных;
В – матрица-столбец свободных членов.
Если матрица А невырожденная (det А= 0), то тогда
с помощью операций над матрицами выразим
неизвестную матрицу Х .
Операция деления на множестве матриц заменена
умножением на обратную матрицу, поэтому умножив
1
последнее равенство на матрицу А слева:

4. 1)Матричный метод решения.

Поэтому, чтобы найти неизвестную матрицу Х надо
найти обратную матрицу к матрице системы и
умножить ее справа на вектор-столбец свободных
коэффициентов.

5.

Пример 1. Решить систему матричным способом.
3 x1 x2 x3 2,
x1 x2 3 x3 8,
4 x1 x2 x3 1.
Решение: Решим систему линейных уравнений
матричным методом. Обозначим
1
1
3
A 1 1 3 ,
4
1
1
x1
2
X x 2 , B 8 .
x
1
3
Тогда данную систему можно записать в виде: АХ=В.

6.

3
1
1
A 1 1 3 3 ( 1) 1 1 1 1
4
1
1
4 1 ( 3) 1 ( 1) 4 1 3 ( 3) 1 1 1
3 1 12 4 9 1 2
Т.к. матрица невырожденная (Δ= – 2), то X = A-1B.

7.

1 1
А11 ( 1)
1 2
А12 ( 1)
1 3
А13 ( 1)
1 3
1
1
1 3
4
1
1 (1 12) 13,
1 1
4
1 3 2,
1
1 4 5,

8.

А21 ( 1)
А22 ( 1)
А23 ( 1)
1 1
3 1
3 1
2 1
2 2
2 3
1 0 0,
1 1
4 1
4 1
3 4 1,
1 (3 4) 1,

9.

1
3 1
А31 ( 1)
А32 ( 1)
3 2
А33 ( 1)
3 3
1
1 3
3
1
1 3
3
3 1 2,
1 ( 9 1) 10,
1
1 1
3 1 4,

10.

Тогда A-1 =
0 2
2
1
13 1 10
2
1 4
5
2 0 2 2
1
-1
Получим X = A B = 13 1 10 8
2
1
5
1
4
4 0 2
2 1
1
1
26 8 10 8 4
2
2
10 8 4
2 1
Ответ: х1 = –1, х2 = 4, х3 = 1.

11. 2)Метод Крамера.

Метод Крамера (теорема Крамера) — способ
решения
квадратных
СЛАУ
с
ненулевым
определителем основной матрицы.
Теорема Крамера. Если определитель
матрицы квадратной системы не равен нулю, то
система совместна и имеет единственное решение,
которое находится по формулам Крамера:
где
- определитель матрицы системы,
- определитель матрицы системы,

12.

где вместо
-го столбца стоит
столбец правых частей.
Пример 2. Решить систему по формулам Крамера.
3х1 2 х 2 4 х 3 21,
3х1 4 х 2 2 х 3 9,
2 х х х 10.
1
2
3
Решение: Решим систему по формулам Крамера.
3 2
D 3
2
1
0
4
2 11
0
1
1
1 1
4
2
( 1) ( 1)
3 2
6
6
1
6
11 6
1 (6 66) 60 0

13.

D
0, значит, система имеет
единственное решение.
21 2
D1 9
10
( 1) ( 1)
3 2
4
1
0
4
2 49
0
1
1
1
6
49 6
6
6
10 1 1
1 ( 6 294) 300,
D 1 300
х1
5;
D
60

14.

3 21
D2 3
9
2 10
( 1) ( 1)
3 3
11
4
11
61
0
2 1 11
0
1
1
61
1 11
2
10
1 ( 121 61) 60
D2
60
х2
1;
D
60

15.

3 2 21
D3 3
4
0
1
9 11
0
49
1 10
2
( 1) ( 1)
1
3 2
1
1
11 49
2
1 10
1 ( 49 11) 60
D 3 60
х3
1;
D
60
Ответ: x1 = 5, x2 = -1, x3 = 1.

16.

3) Метод Гаусса
Метод Гаусса - Метод последовательного
исключения неизвестных.
Метод Гаусса включает в себя прямой
(приведение расширенной матрицы к ступенчатому
виду, то есть получение нулей под главной
диагональю) и обратный (получение нулей над
главной диагональю расширенной матрицы) ходы.
Прямой ход и называется методом Гаусса, обратный
- методом Гаусса-Жордана, который отличается от
первого только последовательностью исключения
переменных.

17.

Пример 3. Исследовать систему и решить ее
методом Гаусса, если она совместна
3 x1 2 x2 5 x3 x4 3
2 x1 3 x2 x3 5 x4 3
x 2 x 4 x 3
2
4
1
x1 x2 4 x3 9 x4 22
(*)
Решение: Дана неоднородная линейная система из
4-х уравнений с 4-мя неизвестными (m=n=4).
1) Определим, совместна или нет система (*).
Вычисляем для этого ранги расширенной и
основной матриц системы: Rg(A,B) и RgA.

18.

1
3 2 5
5
2 3 1
( A, B)
1 2
0 4
1 1 4 9
3 1 1 4 9 22
3 2 3 1
5 3
~
~
3
1 2
0 4 3
22 3 2 5 1
3
9
22 1 2 2
9
22
1 1 4
0 1 9 13 47 0 1 9 13 47
~
~
~
0 3
4 13 25
0 0 31 52 166
0 1
7 26 63 0 0 16 39 110
9
22 1 2 2 9
22
1 2 2
0 1 9 13 47 0 1 9 13 47
~
~
( A , B )
0 0 1 26
54
0 0 1 26
54
0 0 16 39 110 0 0
0
377
754

19.

A
(привели матрицу (A,B) к матрице (A , B ),
имеющую ступенчатую форму).
Итак, Rg(A, B) = Rg( A , B ) = 4, RgA= Rg A = 4
RgA= Rg(A,B) = 4. Следовательно система (*)
совместна. Т.к. Rg A= n (n = 4) система имеет
единственное решение.
Найдем все решения системы (*). Для этого перейдем
к следующей
эквивалентной системе.
x1 x2 4 x3 9 x4 22,
x2 9 x3 13 x4 47,
(**)
x 26 x 54,
4
3
377 x4 754,

20.

21.

3( – 1) – 2 3 – 5 ( – 2) + 2 = 3,
3 3,
– 2 – 9 – 2 10 = – 3,
– 3 – 3,
– 1 + 6 – 8 = – 3,
– 3 – 3,
– 1 – 3 + 8 18 = 22
22 22
решение найдено верно.