Раздел 1. Линейная алгебра. Лекция №3. Решение систем линейных уравнений

1. Раздел 1. Линейная алгебра. Лекция №3 Решение систем линейных уравнений.

2. План

Матричная запись системы линейных уравнений.
Решение системы линейных уравнений матричным методом.
Правило Крамера. Система двух уравнений с двумя
неизвестными.
Однородная система двух уравнений первой степени с тремя
неизвестными.
Система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными.
Теорема Кронекера-Капелли.
Метод Гаусса.
Лекция 3. Решение систем линейных
уравнений
2

3. П.1 Матричная запись системы линейных уравнений

Пусть имеем систему линейных уравнений:
а11 х1 а12 х2 ... а1n xn b1 ,
а х а х ... а x b ,
21 1 22 2
2n n
2
...........................................
аm1 х1 аm 2 х2 ... аmn xn bn ,
(1)
Рассмотрим три матрицы:
а11
a
А 21
...
a
m1
а12
a22
...
am 2
... а1n
... a2 n
... ...
... amn
x1
x
X 2
...
x
n
b1
b
B 2
...
b
n
Применяя правило умножения матриц система (1) может быть записана в
матричной форме:
Лекция 3. Решение систем линейных
уравнений
3

4.

Применяя правило умножения матриц система (1) может быть записана в
матричной форме:
b1
а11 а12 ... а1n x1
x
a21 a22 ... a2 n * 2 b2
...
...
... ... ... ...
b
a
n
x
a
...
a
n
m2
mn
m1
Или кратко:
A*X=B.
(2)
Пример: Записать в матричной форме систему уравнений
Решение:
120
A 031
012
x1
X x2
x
3
5
В 9
8
x1 2 x2 5,
3x2 x3 9,
x2 2 x3 8
Данная система линейных уравнений в матричной форме запишется так:
120 x1 5
031 * x2 9
012 x3 8
Лекция 3. Решение систем линейных
уравнений
4

5. П.2 Решение системы линейных уравнений матричным методом

Умножим левую и правую части равенства (2) слева на матрицу А-1,
получим
А-1 · A · X = А-1 · B.
Но
А-1 · А = Е,
Е · Х = Х.
Поэтому первоначальное равенство можем записать в виде:
X = А-1 · B.
Или в развернутом виде:
b1 A11 b2 A21 b3 A31
x1
1
b1 A12 b2 A22 b3 A23
x2
x ( А) b A b A b A
2 32
3 33
3
1 13
Лекция 3. Решение систем линейных
уравнений
5

6.

Приравнивая члены матриц, стоящих слева и справа, получаем:
b1 A11 b2 A21 b3 A31
b1 A21 b2 A22 b3 A32
x2
b A b2 A23 b3 A33
x3 1 13
x1
Пример: Решить систему уравнений
x1 2 x 2 5,
3x 2 x3 9,
матричным методом.
Решение. 1) Найдем
x 2 2 x3 8
120
031 5
012
2) Найдем обратную матрицу
4
2
1
5
5
2
1
1
A 0
5
5
1 3
0
5
5
Лекция 3. Решение систем линейных
уравнений
6

7. 3) Матрица В:

5
В 9
8
Решение в матричной форме запишется так:
x1
x2 =
x
3
4 2
1
5 5
2 1
0
5
5
1 3
0
5 5
5
9 =
8
4
2
1 5 9 8
5
5
2
1
0 5 9 8
5
5
1
3
0 5 9 8
5
5
4) Таким образом приравнивая строки матриц, стоящих слева и справа,
получаем:
x1 1
x2 2
x 3
3
Лекция 3. Решение систем линейных
уравнений
7

8. П.3 Правило Крамера. Решение систем линейных уравнений

Рассмотрим систему двух уравнений первой степени с двумя неизвестными x и y:
a11 x a12 y c1 ,
a21 x a22 y c2
Решим эту систему. Для этого почленно умножим первое уравнение на а22, второе
на (- а12) и сложим полученные уравнения:
(a11 а22 – а21 а12)x = с1а22 – с2а12.
(*)
Аналогично, почленно умножая первое уравнение на (-а21), второе на а11 и
складывая, получим
(а11а22 – а21а12)y = с2а11 – с1а21.
(**)
Но на основании формулы вычисления определителя 2 порядка можно написать
a11a22 a21a12
a11a12
a21a22
c1a22 c2 a12
c1a12
c2 a22
Лекция 3. Решение систем линейных
уравнений
c11a11 c2 a21
a11c1
a21c2
8

9. Сокращенно эти определители обозначаются так: Определитель Δ, составленный из коэффициентов при неизвестных системы, называется

Сокращенно эти определители обозначаются так:
a11a12
a21a22
х
с1a12
с2 a22
y
a11c1
a21c2
Определитель Δ, составленный из коэффициентов при неизвестных системы,
называется определителем системы. Определитель Δx (или Δ y) получается из
определителя системы Δ, если в нем коэффициенты а11 и а21 (или а12 и а22 ) при
неизвестном x (или y) заменить свободными членами с1 и с2.
.
Принимая это во внимание уравнения (*) и (**) можно записать в виде:
Δ•x = Δx , Δ•y = Δy.
Если 0, то отсюда получаем, что исходная система имеет единственное решение:
y
y
x x
данные формулы называются формулами Крамера.
Замечание. Если определитель равен нулю, то система или не имеет решений (т.е.
несовместна) или имеет бесконечно много решений (т.е. система неопределена).
Лекция 3. Решение систем линейных
уравнений
9

10.

Замечание. Если определитель системы Δ = а11 а22 – а21 а12 = 0, т. е. а11 а22 = а21 а12. В
этом случае коэффициенты при неизвестных одного уравнения пропорциональны
коэффициентам при неизвестных другого уравнения.
Здесь возможны два подслучая.
1) Оба определителя Δ x и Δ y равны нулю.
Δx=с1а22–с2 а12=0,
Δy=с2а11–с1а21=0
В таком случае исходная система имеет бесчисленное множество решений.
2) Хотя бы один из определителей Δ x и Δ y ≠ 0. Тогда система не имеет решения.
2 x 3 y 7,
Пример 1. Решить систему
4 x 5 y 2
Решение. 2 3 22
4 5
x
7 3
2 5
41
y
2 7
24
4 2
т. к. определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение:
x = Δx/Δ =41/22
y = Δy /Δ =24/22=12/11.
Геометрически это означает, что прямые, заданные уравнениями 2x+3y=7
4x–5y=2, пересекаются в точке (41/22, 12/11).
Лекция 3. Решение систем линейных
уравнений
и
10

11. П.4 Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными

Однородная система Двух уравнений с тремя неизвестными имеет вид
a11x a12 y a13 z 0,
a21x a22 y a23 z 0
Все решения данной системы определяются по формулам:
x k
a12a13
a22a23
Пример. Решить систему
y k
a11a13
z k
a21a23
a11a12
a21a22
(*)
2 x 3 y 5 z 0
4 x 2 y 6 z 0
Применяя формулы (*), получим:
x k
3 5
2 6
28k
y k
2 5
4 6
32 k
z k
2 3
42
8 k
Итак все решения системы задаются уравнениями x=-28k, y=32k, z=-8k.
Придавая k конкретные числовые значения, получим различные решения системы.
Так например, при k = 1 имеем: x = -28, y = 32, z = -8 и т. д.
Лекция 3. Решение систем линейных
уравнений
11

12. П.5 Система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными

Рассмотрим систему
неизвестными
а11x + а12y + а13z = с1,
а21x + а22 y + a23z = с2,
a31x + a32y + a33z = c3
трех
уравнений
первой
степени
с
тремя
Предполагая, что определитель системы не равен нулю и
с1 а12 а13
а11 с1 а13
а11 а12 с1
Δ x = с2 а22 а23 , Δ y = а21 с2 а23 , Δ z = а21 а22 с2
с3 а32 а33
а31 с3 а33
а31 а32 с3
находим
x =Δx /Δ , y=Δy /Δ , z=Δz/Δ
(**)
Аналогичные формулы имеют место для систем уравнений первой
степени с большим числом неизвестных.
Лекция 3. Решение систем линейных
уравнений
12

13.

Пример. Решить систему
x + 2y – z = 2,
2x – 3y + 2z = 2,
3x + y + z = 8
Решение.
1 2 -1
2 2 -1
1 2 -1
Δ = 2 -3 2 = -8, Δ x = 2 -3 2 , Δ y = 2 2 2
3 1 1
8 1 1
3 8 1
1 2 2
= -16, Δ z = 2 -3 2 = -24
3 1 8
по формулам (**) находим
x = -8 /-8 = 1, y = -16 /-8 = 2, z = -24 /-8 = 3.
Лекция 3. Решение систем линейных
уравнений
13

14. П.6 Теорема Кронекера-Капелли

Рассмотрим вопрос об исследовании системы линейных уравнений общего вида:
а11 х1 а12 х2 ... а1n xn b1 ,
а х а х ... а x b ,
21 1
22 2
2n n
1
...........................................
аm1 х1 аm 2 х2 ... аmn xn bn ,
где число уравнений m может и не равняться числу неизвестных n. Системы
могут
быть
совместимыми,
определенными,
неопределенными
и
несовместимыми.
Составим матрицу из коэффициентов или матрицу системы и матрицу
полученную путем присоединения к А столбца свободных членов, расширенную.
а11
a
A 21
...
a
m1
а12
a22
...
am 2
... а1n
... a2 n
... ...
... amn
а11
a
B 21
...
a
m1
Лекция 3. Решение систем линейных
уравнений
а12
a22
...
am 2
... а1n b1
... a2 n b2
... ... ...
... amn bn
14

15. Теорема Кронекера – Капелли. Система линейных уравнений совместна, тогда и только тогда, когда ранг матрицы А равен рангу

расширенной матрицы В,
причем в случае совместности система является определенной, когда ранг
матрицы А равен числу неизвестных.
Пример.
2 х1 7 х2 3 х3 x4 6,
3 х1 5 х2 2 х3 2 x4 4,
9 х 4 х х 7 x 2.
2
3
4
1
Решение. Ранг матрицы равен 2, отсюда следует, что система совместна, но
неопределенна. Последнее уравнение можно отбросить.
2 х1 7 х2 3 х3 x4 6,
3 х1 5 х2 2 х3 2 x4 4.
х1
2 х3 9 х4
11
х2
5 х3 х 4 10
11
Замечание. Система имеет решения, если ранг матрицы А равен рангу расширенной
матрицы В. Система не имеет решений, если ранг матрицы А меньше ранга В. Если
ранг матрицы А и ранг В равен 3, то система имеет единственное решение. Если ранг
матрицы А и В равен 2, то система имеет бесчисленное множество решений, при
этом два неизвестных выражаются через третье, которое имеет произвольное
значение. Если ранг матриц А и В равен 1, то система имеет бесчисленное множество
решений, при этом два неизвестных имеют произвольные значения, а третье
выражается через них.
Лекция 3. Решение систем линейных
уравнений
15

16. П. 6 Метод Гаусса

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными:
а11х1 а12 х2 ... а1n xn a1,n 1 ,
а21 х1 а22 х2 ... а2 n xn a2,n 1 ,
...........................................
аm1 х1 аm 2 х2 ... аmn xn an ,n 1.
(1)
У коэффициента a ij первый индекс обозначает номер уравнения, а второй – номер
неизвестного.
Пусть для определенности a11 не равен нулю «ведущий коэффициент». Разделив все
члены первого уравнения на a11 , будем иметь приведенное уравнение
где
x1 x 2 ... x n 1,n 1
1 j
a1 j
a11
( j 1,2,..., n 1)
(2)
(3)
Рассмотрим i-е уравнение системы (1):
ai1 x1 ai 2 x 2 ... ain x n ai ,n 1
Лекция 3. Решение систем линейных
уравнений
(4)
16

17. Для исключения из этого уравнения умножим приведенное уравнение (2) на и полученное уравнение вычтем из уравнения (4). Тогда

Для исключения x из этого уравнения умножим приведенное уравнение (2) на ai1 и
1
полученное уравнение вычтем из уравнения (4). Тогда получим:
(5)
ai(21) x2 .. ain(1) xn ai(,1n) 1
где
(6)
aij(1) aij ai1 1 j ( j 2,3,..., n 1)
Таким образом получаем укороченную систему
(1)
a22
x2 ... a2(1n) xn a2(1,n) 1 ,
........................................
(1)
an(12) x2 ... ann
xn an ,n 1
(7)
коэффициенты которой определяются по формулам (6).
(1)
Если ее ведущий коэффициента a22
0, то из системы (7) можно исключить
неизвестное x2 , причем новые коэффициенты будут вычисляться по формулам
типа (6) и т.д. Эта часть вычислений называется прямым ходом метода Гаусса.
Для определения неизвестных x1 , x2 ,..., xn рассмотрим приведенные уравнения
Лекция 3. Решение систем линейных
уравнений
17

18.

x1 12 x2 ... 1n xn 1,n 1
(1)
(1)
x2 2 n xn 2,n 1 ,
...........................................
xn n( n,n 11)
(8)
Отсюда последовательно находим неизвестные (обратный ход)
xn n( n,n 11) ,
( n 2)
( n 2)
xn 1 n 1,n 1 n 1,n xn ,
.......................................
x1 1,n 1 1n xn ... 1,n 1 xn 1 ... i 2 x2
Операции (9) выполняются без деления.
Если очередной ведущий коэффициент окажется равным нулю, то уравнения системы
следует переставить надлежащим образом. Возможно, что система (1) несовместна, тогда
метод Гаусса не допускает реализации.
Лекция 3. Решение систем линейных
уравнений
18

19. Вопросы для контроля

1. Матричная запись системы линейных уравнений.
2. Решение системы линейных уравнений матричным
методом.
3. Правило Крамера.
4. Теорема Кронекера-Капелли.
5. Метод Гаусса.
Лекция 3. Решение систем линейных
уравнений
19

20. Литература

1. Привалов И.И. Аналитическая геометрия, М: Гос. изд-во Юрайт, 2017.
2. Егоров В.В., Мустафина Л.М., Абаева Н.Ф., Головачёва В.Н. Математика.
Часть I (для студентов горного профиля), изд-во КарГТУ, 2015.
3. Мустафина Л.М. Высшая математика для студентов технических
специальностей. Часть 1: Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. Изд-во КарГТУ, Караганда, 2016.
4. Мустафина Л.М. Высшая математика для студентов технических
специальностей. Часть 2: Введение в математический анализ.
Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной.
Изд-во КарГТУ, Караганда, 2017.
5. Мустафина Л.М., Абаева Н.Ф. Высшая математика для студентов технических
специальностей. Часть 3: Функции многих переменных. Кратные интегралы.
Дифференциальные уравнения. Изд-во КарГТУ, Караганда, 2017.
6. Мустафина Л.М., Абаева Н.Ф. Высшая математика для студентов технических
специальностей. Часть 4: Ряды. Элементы теории вероятностей и
математической статистики. Изд-во КарГТУ, Караганда, 2018.
Лекция 1. Матрицы
20

21.

7. Мустафина Л.М., Швейдель А.П. Индивидуальные задания для СРС и СРСП по
математике для студентов технических специальностей. Часть II, Изд-во КарГТУ,
Караганда, 2010.
8. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии, Спб.: Лань, 2019.
9. Рябушко А.П., Индивидуальные задания по высшей математике: Т-1,2, 3,
Минск: Высшая школа, 2013.
10. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах, т.1-2., М.: Мир
и образование, 2016.
11. Берман Н.Г. Сборник задач по курсу математического анализа: Учебное
пособие, Спб.: Лань, 2019.
12. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу,
Спб.: Лань, 2010.
13. Демидович Б.П. и др., Задачи и упражнения по математическому анализу для
втузов: Учебное пособие для студентов высших технических учебных заведений, М.:
Транспортная компания, 2016.
Список дополнительной литературы
1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: т.1-3. Спб.:
Лань, 2018.
2. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике с контрольными работами, М.: Айриспресс, 2013.
Лекция 1. Матрицы
21