Параллельность прямых и плоскостей в пространстве

1.

2. Содержание

Взаимное расположение прямых в пространстве
Параллельные прямые в пространстве
Теорема о параллельных прямых
Лемма
Теорема о параллельности трех прямых
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
Определение параллельности прямой и плоскости
Признак параллельности прямой и плоскости
Свойства параллельных плоскостей (1°)
Свойства параллельных плоскостей (2°)
Признак скрещивающихся прямых
Теорема о скрещивающихся прямых
Теорема об углах с сонаправленными сторонами
Примеры и задачи

3. Определите ошибку на рисунке

m
p
q
n

4. Взаимное расположение прямых в пространстве

b
а ll b
а
d
n
с
c∩d
m
m―n

5. Параллельные прямые в пространстве

Две прямые называются параллельными, если
они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
а ll b
а
b

6.

6

7.

7

8.

8

9.

9

10. Теорема о параллельных прямых

Через любую точку пространства, не лежащую на
данной прямой, проходит прямая, параллельная
данной, и притом только одна.
а
b
Дано: а, М а
М
Доказать:
1) ∃ b, М b, a ll b
2) b – !

11. Лемма

Если одна из двух параллельных прямых
пересекает данную плоскость, то и другая прямая
пересекает эту плоскость.
b
Дано: а ll b, a∩
a
Доказать: b∩
M

12. Теорема о параллельности трех прямых

Если две прямые параллельны третьей прямой, то
они параллельны.
c
К
а
Дано: аllc; bllc
b
Доказать: аllb
(а , b , a∩b)

13. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

b
β
с
М
b∩β
с ll
а
a

14. Определение параллельных прямой и плоскости

Прямая и плоскость называются параллельными,
если они не имеют общих точек.
c
с ll

15.

15

16.

16

17. Пример

18. Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая, не лежащая в данной плоскости,
параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в
этой плоскости, то она параллельна данной
плоскости.
a
b
Дано:
a , b , а ll b
Доказать: а ll

19. Свойства параллельности прямой и плоскости (1°)

Если плоскость проходит через данную прямую,
параллельную другой плоскости, и пересекает
эту плоскость, то линия пересечения плоскостей
параллельна данной прямой.
β
а
Дано: a β, a ,
а ll , ∩ β = b
Доказать: а ll b
b

20. Свойства параллельности прямой и плоскости (2°)

Если одна из двух параллельных прямых
параллельна данной плоскости, то другая прямая
либо также параллельна данной плоскости, либо
лежит в этой плоскости.
а
b
Дано: а ll , а ll b
Доказать: b ll
или b

21. Решите задачу 1

Дано: ∆АВК; АВ ll ; (АВК)∩ = СD;
СK = 8; АВ = 7; АС = 6
Доказать: АВ ll СD
Найти: СD
В
А
С
D
K

22. Решите задачу 2

Дано: ∆АВС; АВ ∩ = В1; АС ∩ = С1; ВС ll ;
АВ : ВВ1 = 8 : 3; АС = 16 см
Доказать: ВC ll B1С1
А
Найти: АС1
В
В1
С1
С

23. Скрещивающиеся прямые

Две прямые называются скрещивающимися,
если они не лежат в одной плоскости.
n
m
m―n

24.

24

25.

25

26. Признак скрещивающихся прямых

Если одна из двух прямых лежит в некоторой
плоскости, а другая прямая пересекает эту
плоскость в точке, не лежащей на первой
прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
D
А
В
С
Дано: AB ,
CD ∩ = C, C AB
Доказать: AB ‒ CD

27.

Через каждую из двух скрещивающихся прямых
проходит плоскость, параллельная другой прямой,
и притом только одна.
С
D
А
В
Дано: AB ‒ CD
Доказать:
1) ∃ , AB , ll CD
2) – !
Е

28. Теорема об углах с сонаправленными сторонами

Если стороны двух углов соответственно
сонаправлены, то такие углы равны.
О
В
А
О1
В1
Дано:
ОА ↑↑ О1А1,
ОВ ↑↑ О1В1
Доказать:
АОВ = А1О1В1
А1

29. Угол между прямыми

180º-φ
А
а
А1
φ
С
D
В
В1
φ
b

30. Пространственный четырехугольник

β
В
А
D
С

31. Пространственный четырехугольник

β
В
N
М
А
Q
D
С
P

32.

Дано: ABCD – параллелограмм,
Р α, РАВ = φ.
Найти: (АР; CD).
Вариант 1
P
P1
φ А
φ
В
С
Вариант 2
D

33. Использованы ресурсы

Геометрия. 10 – 11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений:
базовый и профил. уровни / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.
Кадомцев и др.]. – 19-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
Изучение геометрии в 10 – 11 классах: кн. для учителя / С.М. Саакян,
В.Ф. Бутузов. – 4-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2010.
https://www.goodfon.ru/download/rzhd-relsy-zheleznaya-doroga/1366x768/
- рельсы
http://old.stroi.mos.ru/photogallery/photo/otkrytie-estakady-nayaroslavskom-shosse-v-raione-ulicy-veshnih-vod-s-sobyanin-m-husnullinbochkarev-19 - открытие эстакады на Ярославском шоссе
http://www.cepolina.com/rs/bridge-highway-traffic-tunnel.htm - тоннели
http://temptrans.ru/news/3514/ - Керченский мост
http://www.votpusk.ru/country/dostoprim_info.asp?ID=9805 – Парфенон
Греция
http://fototelegraf.ru/265466-nedelya-v-fotografiyax.html/comment-page-1
- тоннель в Китае
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Intersection_i10_i155_CA_USA.JP
G?uselang=ru – дороги
33