Параллельность прямых и плоскостей в пространстве

1. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве

2. Содержание

Взаимное расположение прямых в пространстве
Параллельные прямые в пространстве
Теорема о параллельных прямых
Лемма
Теорема о параллельности трех прямых
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
Определение параллельности прямой и плоскости
Признак параллельности прямой и плоскости
Свойства параллельных плоскостей (1°)
Свойства параллельных плоскостей (2°)
Признак скрещивающихся прямых
Теорема о скрещивающихся прямых
Теорема об углах с сонаправленными сторонами
Примеры и задачи

3. Примеры и задачи

Пример с параллелепипедом
Задача 1
Задача 2

4. Проверка самостоятельной работы

1 вариант
№1
А
M
Р
К
№2
а
В
С
А
1
S = d1 d2 sinα
2
D

5. Проверка самостоятельной работы

2 вариант
№1
d
n
с
В
№2
С
O
1
S = d1 d2 sinα
2
А
D

6. Определите ошибку на рисунке

α
m
p
q
n

7. Взаимное расположение прямых в пространстве

а
b
а ll b
с
d
n
c∩d
m
m –― n

8. Параллельные прямые в пространстве

Две прямые называются параллельными,
если они лежат в одной плоскости и не
пересекаются.
а
α
b
а ll b

9. Теорема о параллельных прямых

Через любую точку пространства, не лежащую на
данной прямой, проходит прямая, параллельная
данной, и притом только одна.
а
b
М
α
Дано: а, М а
Доказать: 1) b, М b, a ll b
2) b – !
Ε

10. Лемма

Если одна из двух параллельных прямых пересекает
данную плоскость, то и другая прямая пересекает
эту плоскость.
b
Дано: а || b, a ∩ α
a
Доказать: b ∩ α
M
α

11. Теорема о параллельности трех прямых

Если две прямые параллельны третьей
прямой, то они параллельны.
c
К
α
b
а
Дано: а || c; b || c
Доказать: а || b
(а α, b α, a ∩ b)

12. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

b
а
α
М
a α
β
b∩β
γ
с
с || γ

13. Определение параллельных прямой и плоскости

Прямая и плоскость называются параллельными,
если они не имеют общих точек.
c
с || α
α

14. Пример

B1
А1
C1
D1
С
В
А
D

15. Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая, не лежащая в данной плоскости,
параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой
плоскости, то она параллельна данной плоскости.
a
b
α
Дано: а, α, a α,
b α, а || b
Доказать: а || α

16. Свойства параллельных плоскостей (1°)

Если плоскость проходит через данную прямую,
параллельную другой плоскости, и пересекает эту
плоскость, то линия пересечения плоскостей
параллельна данной прямой.
β
а
Дано: a β, a α,
а || α, α ∩ β = b
b
α
Доказать: а || b

17. Свойства параллельных плоскостей (2°)

Если одна из двух параллельных прямых параллельна
данной плоскости, то другая прямая либо также
параллельна данной плоскости, либо лежит в этой
плоскости.
α
а
Дано: а || α, а || b
b
Доказать: b || α,
b α

18. Решите задачу 1

Дано: АВ || α; (АВК) ∩ α = СD;
СK = 8; АВ = 7; АС = 6
Доказать: АВ || СD
Найти: СD
В
А
α
С
D
K

19. Решите задачу 2

Дано: АВ ∩ α = В1; АС ∩ α = С1; ВС || α;
АВ : ВВ1 = 8 : 3; АС = 16 см
Доказать: ВC || B1С1
А
Найти: АС1
В1
В
С1
С
α

20. Скрещивающиеся прямые

Две прямые называются скрещивающимися, если
они не лежат в одной плоскости.
n
m
α
m –― n

21. Признак скрещивающихся прямых

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости,
а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не
лежащей на первой прямой, то эти прямые
скрещивающиеся.
D
С
α
А
В
Дано: AB α,
CD ∩ α = C, C AB
Доказать: AB — CD

22.

Теорема о скрещивающихся
прямых
Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит
плоскость, параллельная другой прямой, и притом
только одна.
D
В
Дано: AB — CD
Доказать:
1) α, AB α, α ll CD
2) α – !
Ε
С
А
Е
α

23. Теорема об углах с сонаправленными сторонами

Если стороны двух углов соответственно
сонаправлены, то такие углы равны.
О
В
А
О1
В1
А1
Дано:
ОА ↑↑ О1А1,
ОВ ↑↑ О1В1
Доказать:
АОВ = А1О1В1

24. Теорема об углах с сонаправленными сторонами

Если стороны двух углов соответственно
сонаправлены, то такие углы равны.
О
А
В
Дано:
А1
О1
В1
ОА ↑↑ О1А1,
ОВ ↑↑ О1В1
Доказать:
АОВ = А1О1В1

25. Угол между прямыми

180º - φ
а
А
А1
φ
α
С
D
В
В1
φ
b
α

26. Пространственный четырехугольник

β
В
А
α
D
С

27. Пространственный четырехугольник

β
В
М
N
А
Q
α
D
С
P

28.

Дано: ABCD – параллелограмм,
Р α, РАВ = φ.
Найти: (АР; CD).
P
P1
φ А
φ
Вариант 1
α
В
С
Вариант 2
D