Параллельность прямых и плоскостей в пространстве

1.

МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный
Автор: Елена Юрьевна Семёнова

2. Содержание

Взаимное расположение прямых в пространстве
Параллельные прямые в пространстве
Теорема о параллельных прямых
Лемма
Теорема о параллельности трех прямых
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
Определение параллельности прямой и плоскости
Признак параллельности прямой и плоскости
Свойства параллельных плоскостей (1°)
Свойства параллельных плоскостей (2°)
Признак скрещивающихся прямых
Теорема о скрещивающихся прямых
Теорема об углах с сонаправленными сторонами
Примеры и задачи

3. Проверка самостоятельной работы

1 вариант
№1
№2
В
А
M
Р
К
а
С
А
1
S = d1 d2 sinα
2
D

4. Проверка самостоятельной работы

2 вариант
№1
№2
n
В
С
O
d
с
А
1
S = d1 d2 sinα
2
D

5. Определите ошибку на рисунке

α
m
p
q
n

6.

а
b
а ll b
d
с
n
c∩d
m
m―n

7. Параллельные прямые в пространстве

Определение. Две прямые называются параллельными,
если они лежат в одной плоскости и не
пересекаются.
а ll b
а
b
α

8. Теорема о параллельных прямых

Через любую точку пространства, не лежащую на данной
прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом
только одна.
а
b
Дано: а, М а
М
α
Доказать:
1) ∃ b, М b, a ll b
2) b – !

9. Лемма

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную
плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
b
a
Дано: аllb, a∩α
M
α
Доказать: b∩α

10. Теорема о параллельности трех прямых

Если две прямые параллельны
прямой, то они параллельны.
третьей
c
К
α
b
а
Дано: а || c; b || c
Доказать: а b
(а α, b α, a ∩ b)

11. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

с
b
М
γ
β
с llγ
b ∩β
α
а
a α

12. Определение параллельных прямой и плоскости

Прямая и плоскость называются параллельными, если
они не имеют общих точек.
c
α
с ll α

13. Пример

14. Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна
какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она
параллельна данной плоскости.
a
b
α
Дано: а, α, a α,
b α, а ll b
Доказать: а ll α

15. Свойства параллельности прямой и плоскости (1°)

Если плоскость проходит через данную прямую,
параллельную другой плоскости, и пересекает эту
плоскость, то линия пересечения плоскостей
параллельна данной прямой.
β
а
Дано: a β, a α,
а ll α, α ∩ β = b
b
α
Доказать: а || b

16.

Если одна из двух параллельных прямых параллельна
данной плоскости, то другая прямая либо также
параллельна данной плоскости, либо лежит в этой
плоскости.
α
а
Дано: а || α, а || b
b
Доказать: b || α,
b α

17. Решите задачу 1

Дано: АВ || α; (АВК) ∩ α = СD;
СK = 8; АВ = 7; АС = 6
Доказать: АВ || СD
Найти: СD
В
А
α
С
D
K

18. Решите задачу 2

Дано: АВ ∩ α = В1; АС ∩ α = С1; ВС || α;
АВ : ВВ1 = 8 : 3; АС = 16 см
Доказать: ВC || B1С1
А
Найти: АС1
В1
В
С1
С
α

19. Скрещивающиеся прямые

Две прямые называются скрещивающимися, если
они не лежат в одной плоскости.
n
m
α
m –― n

20. Признак скрещивающихся прямых

Если одна из двух прямых лежит в некоторой
плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в
точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые
скрещивающиеся.
D
С
α
А
В
Дано: AB α,
CD ∩ α = C, C AB
Доказать: AB — CD

21.

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит
плоскость, параллельная другой прямой, и притом
только одна.
С
D
А
В
Дано: AB — CD
Доказать:
1) ∃ α, AB α, α ll CD
2) α – !
Е
α

22. Теорема об углах с сонаправленными сторонами

Если стороны двух углов соответственно
сонаправлены, то такие углы равны.
О
В
А
О1
В1
А1
Дано:
ОА ↑↑ О1А1,
ОВ ↑↑ О1В1
Доказать:
АОВ = А1О1В1

23. Теорема об углах с сонаправленными сторонами

Если стороны двух углов соответственно
сонаправлены, то такие углы равны.
О
А
В
Дано:
А1
О1
В1
ОА ↑↑ О1А1,
ОВ ↑↑ О1В1
Доказать:
АОВ = А1О1В1

24. Угол между прямыми

180º - φ
а
А
А1
φ
α
С
D
В
В1
φ
b
α

25. Пространственный четырехугольник

β
В
А
α
D
С

26. Пространственный четырехугольник

β
В
М
N
А
Q
α
D
С
P

27.

Дано: ABCD – параллелограмм,
Р α, РАВ = φ.
Найти: (АР; CD).
P
P1
φ А
φ
Вариант 1
α
В
С
Вариант 2
D