Базис векторного пространства

1. Базис векторного пространства

Для векторов в пространстве, на плоскости и на прямой:
Определение.
1) Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора,
взятые в определенном порядке.
2) Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы,
взятые в определенном порядке.
3)Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.

2.

Определение. Если e1 , e2 , e3 - базис в пространстве и a e1 e2 e3 , то числа ,
и - называются компонентами или координатами вектора a в этом базисе.
В связи с этим можно записать следующие свойства:
-
равные векторы имеют одинаковые координаты,
-
при умножении вектора на число его компоненты тоже умножаются на это число,
a ( e1 e2 e3 ) = ( )e1 ( ) e2 ( ) e3 .
-
при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты.
a 1 e1 2 e2 3 e3 ;
b 1 e1 2 e2 3 e3 ;
a + b = ( 1 1 )e1 ( 2 2 )e2 ( 3 3 )e3 .

3.

В зависимости от того, о каком линейном пространстве идет речь, базис могут
составлять различное количество векторов. Например, в случае n-мерного линейного
пространства базис состоит из n линейно независимых векторов e1, e2 , , en , а любой
вектор x этого линейного пространства можно представить в виде линейной комбинации
векторов e1, e2 , , en , или , как говорят, разложить по базису:
x 1 e1 2 e2
n en .
В этом случае вектор x имеет координаты 1, 2 ,
, n .
Замечание: Разложение вектора по базису единственно.

4.

Важной задачей является узнать, как связаны между собой координаты x в разных
базисах.
Пусть вектор x в базисе e1, e2 , , en имеет координаты 1, 2 , , n . Узнаем
какие координаты будет иметь вектор x в базисе e1 , e2 ,
e можно разложить по базису e , e , , e :
i
1
2
n
e1 s11 e1 s12 e2 s1n en ,
e2 s21 e1 s22 e2 s2n en ,
,
en sn1 e1 sn2 e2
snn en
, en , если каждый вектор

5.

называется матрицей перехода от базиса e1, e2 ,
Определение: Матрицей S sij
, en
к базису e1 , e2 , , en .
Тогда справедлива теорема:
Теорема: Для любого вектора x линейного пространства L справедливо:
x e x e S .
В самом деле, пусть в базисе e1 , e2 ,
Тогда
x 1 e1 2 e2
n en
1 s11 e1 s12 e2
s1n en 2 s21 e1 s22 e2
n sn1 e1 sn2 e2
1 s11 2 s21
, en вектор x имеет координаты 1, 2 ,
snn en
n sn1 e1 1 s12 2 s22
1 s1n 2 s2n
s2 n e n
n snn en
n s n 2 e2
, n .

6.

С другой стороны, 1 , 2 ,
, n 1 , 2 ,
s11 s12
s
s
, n 21 22
sn1 sn2
s1n
s2n
,
snn
Перемножим матрицы:
1 , 2 , , n
1s11 2 s21
n sn1 , 1s12 2 s22
n sn2 , ,
Или
1 1s11 2 s21 n sn1 ,
2 1s12 2 s22 n sn2 ,
,
n 1s1n 2 s2n n snn
Сравнивая полученные результаты, видим что x e x e S .
1s1n 2 s2n
n snn

7.

Из данной теоремы следует, что координаты вектора x в базисе e1 , e2 ,
найти, решив матричное уравнение, а именно:
xe xe S 1 .
Пример: Найти координаты вектора x в базисе ( e1 , e2 , e3 ),
если он задан в базисе (e1 , e2 , e3).
e1 e1 e2 2e3
1) x 6; 1; 3 , e2 2e1 e2
e e e e
1
2
3
3
, en можно

8.

e1 e1 e2 2e3
x 6; 1; 3 , e2 2e1 e2
e e e e
1
2
3
3
Решение 1 (без матрицы перехода): Чтобы найти координаты вектора xe ' 1, 2 , 3
в базисе ( e1 , e2 , e3 ), нужно найти три числа 1 , 2 , 3 , такие что:
x 1 e1 2 e2 3 e3
x 1 e1 e2 2e3 2 2e1 e2 3 e1 e2 e3
x 1 2 2 3 e1 1 2 3 e2 2 1 3 e3
6; 1; 3 1 2 2 3 , 1 2 3 , 2 1 3
1 2 2 3 6
1 2 3 1
2
3 3
1
Решим систему методом Крамера:

9.

e1 e1 e2 2e3
x 6; 1; 3 , e2 2e1 e2
e e e e
1 2 3
3
1
1
2
1 1
2
1 1 0 4 2 0 2 1,
0
6
1
2
1 1
1
3 0
1
6
1 1
2
2 3
1
2
1
1
1
1 6 0 6 3 0 2 1, 1
1,
1
1
1
3
2
1 1 3 12 2 3 6 3, 2
3,
1
1
6
1
3
1 1 1 3 0 4 12 0 6 1, 3
1.
3
1
2 0
3
Таким образом, координаты вектора x в базисе ( e1 , e2 , e3 ) будут 1, 3, 1 .

10.

e1 e1 e2 2e3
x 6; 1; 3 , e2 2e1 e2
e e e e
1
2
3
3
Решение 2 (с матрицей перехода):
С другой стороны базис
( e1 , e2 , e3 ) может быть задан матрицей перехода
1 1 2
S 2 1 0 . Тогда если справедливо, что x e x e S , то xe xe S 1 .
1 1 1
1 *T
1
S
Найдем S
.
S
1
S 2
1
1
2
1 0 1 4 0 2 0 2 1,
1
1

11.

e1 e1 e2 2e3
x 6; 1; 3 , e2 2e1 e2
e e e e
1 2 3
3
S11
1 0
1
1
S21
1
1
S31
1
2
0
2
1
1,
1 1
1 1
1 1
1 2
2,
3, S23
1, S22
1 1
1 1
1
1 1
1 2
2
3.
4, S33
2, S32
2 1
2 0
0
1
2
1, S12
2, S13
1 2 1
3 2 , а обратная матрица будет равна
Тогда S * 1
2
4 3
T
1 1 2
1 2 1
1
4
3
2
2
3
1
S 1
.
1
1 2 3
2 4 3

12.

e1 e1 e2 2e3
x 6; 1; 3 , e2 2e1 e2
e e e e
1
2
3
3
Тогда
1 1 2
x e x e S 1 6, 1, 3 2 3 4
1 2 3
6 2 3, 6 3 6, 12 4 9 1, 3, 1