Векторная алгебра. Векторы на плоскости и в пространстве

1. ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

ВЕКТОРЫ на плоскости и в пространстве

2.

Вектор (в пространстве, на плоскости, на прямой)
– это направленный отрезок, т.е. отрезок AB, у
которого одна из ограничивающих его точек A
принимается за начало, а вторая B – за конец.
AB или a
B
A
A
B
BА

3.

Ненулевые векторы
AB и CD называются
равными, если:
имеют одинаковые длины
AB CD
и одинаково направлены
Все нулевые векторы считаются равными друг другу.

4. Характеристики: модуль, направление

5. Операции: сложение векторов

6. Операции: умножение вектора на число

7. перации3. Умножение вектора на число

Произведением вектора а
на число называется вектор,
а
модуль которого равен числу
и который имеет
, если 0, и противоположное
направление вектора
а
направление ( а ), если 0.
Обозначается: а .
Если 0 или а 0 , то а 0 .
а
3а
2а

8.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на
одной прямой или на параллельных прямых. В противном
случае, они
называются неколлинеарными.
а
а
b
Коллинеарные векторы
b
Неколлинеарные векторы
Нулевой вектор коллинеарен всякому вектору и каждый
вектор коллинеарен самому себе.
Вектор а называется коллинеарным прямой l, если этот
вектор лежит на прямой l или на прямой, параллельной l.

9.

Признак коллинеарности двух
ненулевых векторов
a b a b , b a,
где и - некоторые числа.

10.

Три вектора называются компланарными, если они лежат на
одной плоскости или на параллельных плоскостях. В
противном случае, они называются некомпланарными.
Если хоть один из векторов а , b и с
нулевой вектор, то эти
векторы компланарны.
с
b
а
Компланарные векторы
с
b
а
Некомпланарные векторы

11.

1) Базисом в пространстве называются любые 3
некомпланарных
вектора,
взятые
в
определенном
порядке.
2)
Базисом
на
неколлинеарных
плоскости
вектора,
называются
взятые
в
любые
2
определенном
порядке.
3) Базисом на прямой называется любой ненулевой
вектор.

12.

Если e1 , e2 , e3 - базис в пространстве и
a e1 e,2 e3 ,
то числа , и - называются координатами вектора в этом базисе.
Свойства:
1)
равные векторы в одном и том же базисе имеют одинаковые
координаты
2)
при умножении вектора на число его компоненты тоже
умножаются на это число
a ( e1 e2 e3 ) ( )e1 ( ) e2 ( ) e3
3)
при сложении векторов складываются их соответствующие
компоненты
a 1 e1 2 e2 3 e3
b 1 e1 2 e2 3 e3
( 1 1 )e1 ( 2 2 )e2 ( 3 3 )e3

13.

Опр. Если a1 , a2 ,..., an- некоторая система векторов
пространства R (R1, R2 или R3), тогда любой
вектор вида 1a1 2 a2 ... n an называется
линейной комбинацией векторов
a1 , a2 ,..., an , где 1 , 2 ,..., п
некоторые действительные числа, называемые
коэффициентами линейной комбинации.
Если какой-либо вектор представляется в виде
линейной комбинации некоторых векторов, то
говорят, что он разложен по этим векторам.

14.

z
y
k
j
i
O
x
i
j
O
x
• О – произвольная точка
• i , j i , j , k единичные взаимно-перпендикулярные векторы плоскости
(пространства) – орты
• Oxy – прямоугольная система координат на плоскости
• Oxyz – декартовая система координат в пространстве
• x – абсцисса
• y – ордината
• z – аппликата
y

15.

y
y1
j
O
A(x1, y1)
a
i
Вектор a на плоскости Oxy, может быть
представлен в виде:
x1
a x1i y1 j
x
где x1, y1 – проекции конца вектора на
соответствующие оси координат называются
прямоугольными координатами вектора.
Вектор a OA с координатами x1 и y1 обозначается: a x1 , y1
и называется радиус-вектором точки А.

16.

Задача : найти координаты вектора, если даны
координаты его начала и конца.
Решение.
Пусть А( x1 , y1 , z1 ) и B( x2 , y2 , z2 ). Имеем
AB OB OA.
Но OA x1 , y1 , z1 , OB x2 , y2 , z2 AB x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 .

17. Условие коллинеарности двух векторов

a x1 , y1 , z1 и b x2 , y2 , z 2
Векторы
коллинеарны тогда и только тогда, когда их
соответствующие координаты пропорциональны,
т.е. когда справедливо равенство
x1 y1 z1
x2 y 2 z 2

18.

Длина вектора
a x1, y1
в прямоугольных координатах :
2
2
a x1 y1
Длина вектора
a x1, y1, z1
a
в декартовых координатах:
x y z
2
1
2
1
2
1

19. Линейные операции над векторами в координатной форме

Если
a x1 , y1 , z1 и b x2 , y2 , z 2
Тогда
a b x1 x2 ; y1 y2 ; z1 z 2
a x1 ; y1 ; z1

20.

Направление вектора определяется углами α, β, γ,
образованными с осями координат Ox, Oy, Oz.
Косинусы этих углов определяются по формулам:
x1
cos
a
y1
cos
a
z1
cos
a

21.

Скалярным произведением двух
векторов a и b называется
a b и равное
число, обозначаемое
a b a b cos( a, b )
Если a x1 , y1 , z1 , b x2 , y2 , z 2
a b x1 x2 y1 y2 z1 z 2
a b
cos( a , b )
ab

22.

Задача. Даны векторы
Найти: 1)
a b a
a 15; 6; 5 b 20; 3; 16
Разность двух векторов:
.
b a 20 15; 3 ( 6); 16 ( 5) 5; 9; 21
Скалярное произведение двух векторов:
a b a 15 5 ( 6) 9 ( 5) 21 84

23.

Задача. Даны векторы a 15; 6; 5 b 20; 3; 16
Найти: 3) cos a, с если
c 2a b
c 2a b 2 15; 6; 5 20; 3; 16 50; 9; 6
a c
x1 x3 y1 y3 z1 z3
cos a, с
ac
2
2
2
2
2
2
x
y
z
x
y
z
1
1
1
3
3
3
15 50 ( 6) ( 9) ( 5) 6
cos a, с
2
2
2
2
2
2
15
(
6
)
(
5
)
50
(
9
)
6
750 54 30
774
286 2617
748462

24.

Задача. Даны векторы a 15; 6; 5 b 20; 3; 16
Найти: 4)
a b
a b 35; 3; 9
a b 352 ( 3) 2 92 1225 9 81 1315

25.

Три некомпланарных вектора a , b , c образуют
правую тройку (левую тройку) или положительно
ориентированы (отрицательно
ориентированы),
если с конца третьего вектора c кратчайший
поворот от первого вектора a ко второму b виден
против часовой стрелки (по часовой стрелке).
c
b
a
Правая тройка
c
a
b
Левая тройка

26. Векторное произведение

27. Свойства

1.
2.
3.
4.
a b (b a ),
a a 0,
a (b c ) a b a c ,
a b a b (a b )
5. Критерий коллинеарн ости векторов
a || b a b 0,

28. Векторное произведение в координатах

Если
a x1 , y1 , z1 и b x2 , y2 , z2
i
j k
c a b x1 y1 z1
x2
y2 z 2

29. Смешанное произведение векторов

a, b , c
Опр. Смешанным произведением трех
векторов
называется число, обозначаемое a b c и
определяемое следующим образом
a b c ( a b )c
Другие обозначения :
(a , b , c ), a , b , c .

30. Геометрический смысл

a bc
b
a
Vпарал. (a b ) c

31. Свойства

1.
2.
3.
4.
( a b ) c a (b c )
a b c ( a b c )
aab ab b ab a 0
( a d )b c a b c db c

32. Свойства

33. Смешанное произведение в координатах

Смешанное
Если
произведение в координатах
a x1 , y1 , z1 ,
b x2 , y2 , z 2 ,
c x3 , y3 , z3 ,
тогда
x1
a b c x2
y1
z1
y2
z2 .
x3
y3
z3

34. Признак компланарности трех векторов (линейной зависимости трех векторов) Векторы компланарны тогда и только тогда, когда

Признак компланарности трех векторов
(линейной зависимости трех векторов)
Векторы a , b , c компланарны
тогда
и
только
ab c 0
тогда,
x1
y1
z1
x2
y2
z2 0
x3
y3
z3
когда