Векторная алгебра (Тема 3)

1.

ТЕМА 3. ВЕКТОРНАЯ
АЛГЕБРА.

2.

План лекции:
1. Векторы. Линейные операции над
векторами.
2. Линейная зависимость и независимость
векторов.
3.Понятие базиса. Координаты вектора.
4. Разложение вектора по базису.

3.

1.Векторы. Линейные операции над
векторами.
Определение 1. n-мерным вектором
называется упорядоченный набор из n
действительных чисел, записываемый в виде
X ( x1 ; x2 ; x3 ;...; xn ) ,
числа
вектора.
x1 ; x2 ; x3 ;...; xn
– координаты

4.

Размерность вектора определяется числом
его координат, например:
x (1; 3) двумерный вектор,
y (1; 0; 5) трехмерный вектор.
z (3; 2; 1; 4; 7) пятимерный, и т.д.
Координаты вектора можно расположить в
строку или в столбец.

5.

В первом случае
X ( x1 ; x2 ; x3 ;...; xn ) _
вектор строка (матрица-строка),
во втором случае
x1
x2
X
...
x
n
_
– вектор – столбец (матрица-столбец).

6.

Определение 2.Два вектора и называются
равными, если они имеют одинаковую
размерность и равные соответствующие
координаты.
X ( x1 ; x2 ; x3 ;...; xn )
Y ( y1 ; y2 ; y3 ;...; yn )
X Y,
если
x1 y1 , x2 y 2 ,......, xn y n

7.

Определение 3. Суммой векторов
X ( x1 ; x2 ; x3 ;...; xn )
Y ( y1 ; y2 ; y3 ;...; yn )
называется вектор
X Y x1 y1 , x2 y 2 ,......, xn y n

8.

Определение 4. Произведением вектора
X ( x1 ; x2 ; x3 ;...; xn )
на действительное число
вектор
называется
X ( x1 ; x2 ;...; xn )

9.

Замечание.
Введенные операции над n - мерными
векторами аналогичны операциям над
матрицами. Поэтому n – мерные векторы
можно рассматривать как матрицы – строки
или как матрицы – столбцы и совершать над
векторами матричные операции.

10.

Линейные операции над любыми векторами
удовлетворяют следующим свойствам.
1. х + у = у + х – коммутативное
(переместительное) свойство суммы.
2.(х + у) + z = x + ( y + z ) – ассоциативное
( сочетательное) свойство суммы.
3.
– ассоциативное относительно числового множителя свойство.
4. x + у – дистрибутивное (распределительное)
относительно суммы векторов свойство.

11.

5
х=
- дистрибутивное
относительно суммы числовых множителей
свойство.
6.Существует нулевой вектор 0 =
такой, что х + 0 = х для любого вектора х
(особая роль нулевого вектора).
7.Для любого вектора существует
противоположный вектор (-х) такой ,что
х + (- х) = 0.
8. 1 х = х для любого вектора х (особая роль
числового множителя 1).

12.

2.Линейная зависимость и независимость
векторов n-мерного пространства.
Определение 1.
Совокупность всевозможных n-мерных
векторов с действительными координатами
называется n-мерным векторным
пространством и обозначается .R n.

13.

Определение 2. Линейной комбинацией
векторов A1 , A 2 ,..., A m называется сумма
вида
A1 A2 ... Am ,
1
2
m
где i – действительные числа, называемые
коэффициентами.
Линейная комбинация векторов также
является вектором, так как она образуется из
них с помощью операций сложения и
умножения на число.

14.

Если же все коэффициенты
1 2 ... m 0 ,
то система векторов a1 , a 2 ,..., a m
называется линейно независимой.
На вопрос о линейной зависимости или
независимости системы векторов иногда
можно ответить, используя следующие
теоремы:

15.

Теорема 1. Для того, чтобы система векторов
a1 , a 2 ,..., a m
была линейно зависимой, необходимо и
достаточно, чтобы хотя бы один из них был
представлен в виде линейной комбинации
остальных.
Теорема 2. В n-мерном пространстве любая
система, содержащая более чем n векторов,
является линейно зависимой.

16.

Теорема 3.Если определитель, составленный
из координат векторов, отличен от нуля, то
система векторов линейно независима.
Если указанные теоремы не дают ответа на
вопрос о линейной зависимости или
независимости векторов, то необходимо
решать систему уравнений относительно
1 , 2 ,..., m ,
либо определять ранг системы векторов.

17.

Пример 3. Дана система из трех векторов
трехмерного пространства:
a1 (1;0; 1); a2 (1; 1;1); a3 (1; 3; 1).
Установить, является ли данная система
линейно зависимой или нет.
.

18.

Решение: Составим определитель из координат
векторов и вычислим его.
1
1
1
0
1
3 1 3 1 3 0
1
1
1
Так как определитель отличен от нуля, то
согласно теореме 3 вектора линейно независимы.
Ответ: векторы a1 , a2 и a3
линейно независимы

19.

Пример 4. Выяснить, являются ли векторы
a1 (0;1; 1;3), a2 (1; 2;1;4) u a3 (2; 3;1;11)
линейно зависимыми.
Решение: Составим линейную комбинацию:
1 a1 2 a2 3 a3 0
или

20.

0
1
2 0
1
2
3 0
1 2 3
1
1
1
0
3
4
11 0
Необходимо решить систему уравнений
2 2 3 0
1 2 2 3 3 0
1 2 3 0
3 4 11 0
2
3
1

21.

Эта система имеет бесконечное множество
решений:
1 c; 2 2c 3 c
Значит векторы a1 , a 2 и a 3
зависимы.
Действительно, получаем
ca1 2ca2 ca3 0
c a1 2a2 a3 0
линейно

22.

откуда
a3 a1 2a 2
т.е. вектор a 3
через векторы .a1
линейно выражается
u a2 .

23.

Ранг и базис системы векторов.
Определение 1. Рангом системы векторов
называется максимальное число линейно
независимых векторов этой системы.
Система из n- векторов n-мерного
векторного пространства линейно независима
тогда и только тогда, когда определитель,
составленный из координат этих векторов,
отличен от нуля.

24.

Таким образом, чтобы установить, является
ли данная система векторов линейно
независимой или нет, надо составить матрицу
из координат этих векторов и вычислить ее
ранг.
Если ранг матрицы равен числу векторов в
системе, то система векторов линейно
независима

25.

.
Для системы из n-векторов n-мерного
пространства достаточно вычислить
определитель, составленный из координат
этих векторов.
Если определитель не равен нулю, то система
векторов линейно независима.
В противном случае линейно зависима.

26.

Определение 2. Базисом системы векторов
a1 , a 2 ,..., a m
называется совокупность линейно
независимых векторов данной системы, число
которых равно ее рангу.
Определение 3. Любая система n линейно
независимых векторов n-мерного векторного
пространства называется базисом этого
пространства.

27.

Определение 4. Линейно независимые
векторы a1 , a 2 ,..., a m
образуют базис рассматриваемого векторного
пространства, если любой вектор a этого
пространства является линейной
комбинацией этих векторов, т.е.
где
i
- некоторые числа

28.

В этом случае говорят, что вектор
разложен по данному базису, а числа i
называют координатами вектора
по данному базису.
При изменении базиса координаты вектора
могут измениться

29.

Пример 1. Найти ранг системы векторов:
a1 (3,1,8, 7);
a 2 (1,2,1,1);
a3 (2, 3, 9, 12);
a4 ( 2, 4, 2, 2);
Решение: Составим определитель из координат
векторов данной системы:

30.

3
1
2
2
1
2
3
4
8
1
9
2
7
1
12
2
3
1
2
0
1
2
3
0
8
1
9
0
0,
7 1 12 0
т.к. содержит нулевой столбец.

31.

Значит векторы a1 , a2 , a3 u a4
линейно зависимы. Поэтому ранг не равен 4.
Вычислим определитель третьего порядка:
3
1
1
2
3 5
0
7 1 1 M 12
8
1
9
0
11
2
3
5
5
7
5
11
1
2
3
(55 35) 90 0

32.

Так как определитель не равен нулю
значит 3 вектора линейно независимы, т.е. .
r (a1 , a2 , a3 , a4 ) 3

33.

Пример 3. Разложить вектор X (5; 6)
по базису a1 , a 2 , где
a1 ( 2;3); a 2 (1; 1);
Решение: Запишем разложение вектора X
a2 :
по базису a1 ,
X 1 a1 2 a 2 (1)

34.

Для нахождения координат 1 u 2
подставим в равенство (1) координаты
данных векторов:
(5; 6) 1 ( 2;3) 2 (1; 1)
Отсюда получаем систему уравнений:
2 1 2 5
3 1 2 6

35.

Сложим эти уравнения, получим решение:
2 1 2 5
1 1
2 5 2 1 5 2 3
Итак, разложение вектора X по базису
имеет вид:
X a1 3a2 ,
т.е.X
( 1;3)
в базисе a1 , a 2 .
a1 , a 2

36.

Благодарю
за
внимание!