Векторная алгебра. Основные определения

1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Основные определения

2. Векторы

Определение. Вектором назовём
направленный отрезок, т.е.
отрезок прямой, ограниченный
двумя точками, одна из которых
называется начальной, а другая
конечной.

3. Изображение и обозначения

4.

5.

6. Компланарные векторы

Вектор, точка приложения которого может быть выбрана произвольно,
называют свободным.

7. Линейные операции над векторами

К линейным операциям относятся
операции умножения вектора на
число, сложения и вычитания
векторов.

8.

9.

10.

11.

12.

13. Свойства линейных операций над векторами

14.

15. Линейная зависимость векторов. Аффинный базис

16.

17.

18.

19. Базис на плоскости

20. Базис в трехмерном пространстве

21. Проекция вектора на ось

22. Теоремы о проекциях

23. Прямоугольный декартов базис

24.

25. Длина вектора

26. Длина вектора, заданного концами – расстояние между точками

27. Направляющие косинусы вектора

Направление вектора в пространстве определяется углами
α, β и γ между вектором и положительным
направлением соответствующих осей координат ОХ,
ОУ, ОZ; cos α, cos β и cos γ называются направляющими
косинусами вектора.

28.

29. Деление отрезка в данном отношении

30.

31. Скалярное произведение

32. Свойства скалярного произведения

33.

34. Вычисление проекции вектора на вектор

35. Скалярное произведение в декартовой системе координат

36. Скалярное произведение орт

i
i
j k
1 0 0
j 0 1 0
k
0 0 1

37.

Скалярное произведение векторов равно сумме
произведений их одноименных проекций

38. Итоговые формулы

39. Векторное произведение

40.

Модуль векторного произведения

41. Основные свойства векторного произведения

42.

43. Векторное произведение в декартовой системе координат

44. Векторное произведение орт

i
j
k
i
0
k
j
j
k
0
i
k
j
i
0

45.

46.

С помощью определения
векторного произведения
можно решать задачу о
вычислении площади
треугольника,
построенного на
векторах как на сторонах
(рис 2.26).

47.

48. Смешанное произведение трёх векторов

49. Смешанное произведение в декартовой системе координат

Вычислим предварительно векторное произведение

50.

51. Геометрический смысл смешанного произведения

Построим на векторах как на рёбрах параллелепипед

52.

53.

Вывод: модуль смешанного произведения трёх
векторов равен объёму параллелепипеда,
построенного на этих векторах как на рёбрах.

54. Свойства смешанного произведения

Все свойства смешанного произведения
доказываются с помощью свойств
определителя!

55. Условие компланарности трех векторов