Определители и методы их вычисления. Лекция 2

1.

СЛАЙД-ЛЕКЦИЯ № 2
ТЕМА ЛЕКЦИИ:
«ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
И МЕТОДЫ ИХ ВЫЧИСЛЕНИЯ»
1

2. ПЛАН ЛЕКЦИИ

1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ КВАДРАТНОЙ
МАТРИЦЫ
2. МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ
ДОПОЛНЕНИЯ
3. СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
2

3. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ

3

4.

• Определителем (детерминантом)
матрицы n-го порядка называется число:
n det A
a11
a12
... a1n
a 21
a 22
... a 2 n
...
...
...
a n1
an2
... a nn
...

5. ОБОЗНАЧЕНИЯ

КВАДРАТНАЯ МАТРИЦА n-го ПОРЯДКА
a11
A
a
n1
a1n
ann
ОБОЗНАЧЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ МАТРИЦЫ
a11
a1n
an1
ann
A det A
5

6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ МАТРИЦ 1-го и 2-го ПОРЯДКОВ

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 1-го ПОРЯДКА
a11 a11
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 2-го ПОРЯДКА
a11
a12
a21 a22
a11 a22 a21 a12
6

7.

2
a11
a12
a21 a22
2
a11a22 a12a21

8.

Примеры:
1)
2)
3)
3 2
1
5
3 5 2 1 15 ( 2) 17
cos x sin x
sin x
cos x
cos 2 x sin 2 x cos 2 x
cos x sin x
sin x
cos x
cos x sin x 1
2
2

9.

10. МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ

10

11. МИНОР ЭЛЕМЕНТА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

МИНОРОМ ЭЛЕМЕНТА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
НАЗЫВАЕТСЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ,
ПОЛУЧЕННЫЙ ИЗ ИСХОДНОГО
ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПРИ ПОМОЩИ
ВЫЧЕРКИВАНИЯ СТРОКИ И
СТОЛБЦА, В КОТОРЫХ
СТОИТ ЭТОТ ЭЛЕМЕНТ
11

12. ПРИМЕР ВЫЧИСЛЕНИЯ МИНОРА

МИНОР M 21 ЭЛЕМЕНТА a21 ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
3 1 2
4
2 0
7
9 1
ВЫЧИСЛЯЕТСЯ ТАК:
1 2
M 21
9 1
1 2
9
1
1 18 19
12

13.

14. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ

АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ДОПОЛНЕНИЕМ Aij
ЭЛЕМЕНТА aij ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
НАЗЫВАЕТСЯ ЧИСЛО
Aij ( 1)i j M ij ,
ГДЕ M ij МИНОР ЭЛЕМЕНТА aij
14

15.

16. СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

16

17. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ЛЮБОЙ СТРОКЕ (ЛЮБОМУ СТОЛБЦУ)

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ
РАВЕН СУММЕ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
ЭЛЕМЕНТОВ ЛЮБОЙ СТРОКИ
(ЛЮБОГО СТОЛБЦА) НА ИХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
17

18. ПРИМЕР ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

РАЗЛОЖИМ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПО 2-й СТРОКЕ
3 1 2
1 2
4
2 0 ( 1) 2 1
7
9 1
3 2
( 1) 2 2 0
9 1
7 1
( 1) ( 1 18) 1 (3 14) 19 11 8
18

19.

20. МЕТОД ТРЕУГОЛЬНИКОВ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИ-ТЕЛЕЙ МАТРИЦ 3-го ПОРЯДКА

МЕТОД ТРЕУГОЛЬНИКОВ ДЛЯ
ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ МАТРИЦ 3-го ПОРЯДКА
a12
a33 a31
a22
a
31
a13
a21
a12
a11
a22
a23 a21
a11
a33
a32
a32
a13
a23
20

21.

a11
a12
a13
3 a 21
a 22
a 23 a11a 22 a33 a 21a32 a13 a12 a 23 a31
a31
a32
a33
a13 a22 a31 a32 a23 a11 a21a12 a33

22. ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕТОДА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

2
3
5
1 3
3
2
4
1
2 1 1 3 ( 3) ( 3) 5 ( 2) 4
4 1 ( 3) 5 3 1 ( 2) ( 3) 2
2 27 40 12 15 12 26
22

23. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕУГОЛЬНОЙ МАТРИЦЫ РАВЕН ПРОИЗВЕДЕНИЮ ЭЛЕМЕНТОВ ГЛАВНОЙ ДИАГОНАЛИ

3 1 2
0
0
2 0 3 2 1 6
0 1
23

24.

25.

• Правило Сарруса:
a11
a12
a13
a11
a21 a22
a23
a21 a22
a31
a32
a33
a31
a12
a32
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33

26.

Примеры:
2 4 7
3 1 5 3 1
5 0
7 5 0
4
5)
7
4 ( 1) 7
7 5 5 ( 2) 3 0
5 ( 1) ( 2) 0 5 4 7 3 7
28 175 0 10 0 147 10

27.

28. Свойства определителей.

1.Определитель не изменится, если его
T
транспонировать:
det A det A
det A
3
2 4
det A
T
5
12 10 22
3 2
5
4
12 10 22

29.

2.При перестановке двух строк или
столбцов определитель изменит свой
знак на противоположный.
3
5
2 4
2 4
3
5
12 10 22
10 12 22

30.

3. Общий множитель всех элементов
строки или столбца можно вынести за
знак определителя.
a11
ka12
a21 ka22
k
a11
a12
a21 a22

31.

1
2
36 12
1
3
2
1
2
2
1
2
1
24 12 3
1
2 12 2 3
1
1
4
1 3 4
1 3 2
24 2 9 2 1 12 3 24 15 360

32.

4. Определитель с двумя одинаковыми
строками или столбцами равен нулю.
1
1
3
1
1
3
2 1 4
4 3 6 6 3 4 0

33.

34. БЛАГОДАРЮ ЗА ВНИМАНИЕ!

34