Матрицы, определители, Формулы Крамера

1.

ТЕМА ЛЕКЦИИ:
«ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ»
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009
1

2. ПЛАН ЛЕКЦИИ

1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ КВАДРАТНОЙ
МАТРИЦЫ
2. МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ
ДОПОЛНЕНИЯ
3. СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ КРАМЕРА
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009
2

3. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ

ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009
3

4. ОБОЗНАЧЕНИЯ

КВАДРАТНАЯ МАТРИЦА n-го ПОРЯДКА
a11
A
a
n1
a1n
ann
ОБОЗНАЧЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ МАТРИЦЫ
a11
a1n
an1
ann
A det A
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009
4

5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ МАТРИЦ 1-го и 2-го ПОРЯДКОВ

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 1-го ПОРЯДКА
a11 a11
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 2-го ПОРЯДКА
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
a11
a12
a21 a22
a11 a22 a21 a12
МОСКВА, 2009
5

6. МНЕМОНИЧЕСКОЕ ПРАВИЛО

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
2-го ПОРЯДКА РАВЕН
ПРОИЗВЕДЕНИЮ ЭЛЕМЕНТОВ
ГЛАВНОЙ ДИАГОНАЛИ
МИНУС
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ
ПОБОЧНОЙ ДИАГОНАЛИ
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009
6

7. МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ

ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009
7

8. МИНОР ЭЛЕМЕНТА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

МИНОРОМ ЭЛЕМЕНТА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
НАЗЫВАЕТСЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ,
ПОЛУЧЕННЫЙ ИЗ ИСХОДНОГО
ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПРИ ПОМОЩИ
ВЫЧЕРКИВАНИЯ СТРОКИ И
СТОЛБЦА, В КОТОРЫХ
СТОИТ ЭТОТ ЭЛЕМЕНТ
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009
8

9. ПРИМЕР ВЫЧИСЛЕНИЯ МИНОРА

МИНОР M 21 ЭЛЕМЕНТА a21 ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
3 1 2
4
2 0
7
9 1
ВЫЧИСЛЯЕТСЯ ТАК:
1 2
M 21
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
9 1
1 2
9
1
1 18 19
МОСКВА, 2009
9

10. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ

АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ДОПОЛНЕНИЕМ Aij
ЭЛЕМЕНТА aij ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
НАЗЫВАЕТСЯ ЧИСЛО
Aij ( 1)i j M ij ,
ГДЕ M ij МИНОР ЭЛЕМЕНТА aij
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009
10

11. СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009
11

12. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ЛЮБОЙ СТРОКЕ (ЛЮБОМУ СТОЛБЦУ)

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ
РАВЕН СУММЕ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
ЭЛЕМЕНТОВ ЛЮБОЙ СТРОКИ
(ЛЮБОГО СТОЛБЦА) НА ИХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009
12

13. ПРИМЕР ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

РАЗЛОЖИМ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПО 2-й СТРОКЕ
3 1 2
1 2
4
2 0 ( 1) 2 1
7
9 1
3 2
( 1) 2 2 0
9 1
7 1
( 1) ( 1 18) 1 (3 14) 19 11 8
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009
13

14. МЕТОД ТРЕУГОЛЬНИКОВ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИ-ТЕЛЕЙ МАТРИЦ 3-го ПОРЯДКА

МЕТОД ТРЕУГОЛЬНИКОВ ДЛЯ
ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ МАТРИЦ 3-го ПОРЯДКА
a11
a22
a33 a31
a12
a23 a21
a13 a12 a11
a22 a21
a
a
31
МОСКВА, 2009 33
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
a32
a32
a13
a23
14

15. ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕТОДА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

2
3
5
1 3
3
2
4
1
2 1 1 3 ( 3) ( 3) 5 ( 2) 4
4 1 ( 3) 5 3 1 ( 2) ( 3) 2
2 27 40 12 15 12 26
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009
15

16. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ТРЕУГОЛЬНОЙ МАТРИЦЫ РАВЕН ПРОИЗВЕДЕНИЮ ЭЛЕМЕНТОВ ГЛАВНОЙ ДИАГОНАЛИ

3 1 2
0
0
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
2 0 3 2 1 6
0 1
МОСКВА, 2009
16

17. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ КРАМЕРА

ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009
17

18. ОБЩИЙ ВИД СИСТЕМЫ n ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С n НЕИЗВЕСТНЫМИ

a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 ,
a x a x a x b ,
21 1 22 2
2n n
2
an1 x1 aт 2 x2 ann xn bn
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009
18

19. МАТРИЧНЫЙ ВИД СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

a11 a12
a
a22
21
... ...
a
n1 an 2
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
... a1n x1 b1
... a2 n x2 b2
... ... ... ...
... ann xn bn
МОСКВА, 2009
19

20. ГЛАВНЫЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

a11
a12
... a1n
a21
a22
... a2 n
...
...
...
...
an1 an 2 ... ann
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009
20

21. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КРАМЕРА НА ПРИМЕРЕ СИСТЕМЫ ИЗ 3-х УРАВНЕНИЙ

a11 a12
a
a22
21
a
31 a32
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
a13 x1 b1
a23 x2 b2
a33 x3 b3
МОСКВА, 2009
21

22. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ПРИМЕНИМОСТИ ФОРМУЛ КРАМЕРА

a11
a12
a21 a22
a31
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
a32
МОСКВА, 2009
a13
a23 0
a33
22

23. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

b1
a12
a13
a11
b1
a13
1 b2
a22
a23 ;
2 a21 b2
a23
b3
a32
a33
a31
a33
a11
a12
b1
3 a21 a22
b2
a31
b3
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
a32
МОСКВА, 2009
b3
23

24. ФОРМУЛЫ КРАМЕРА ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

1
x1 ,
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
2
x2
,
МОСКВА, 2009
3
x3
24

25. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ КРАМЕРА

2 x y 3z 13,
4 x 3 y z 7,
x 2 y 5 z 15
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009
25

26. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЛАВНОГО И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

2
4
1
1
3
3 1 30 24 1 9 4 20 14 0,
2
5
13 1
1 7
3
15 2
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
3
1 195 42 15 135 26 35 42,
5
МОСКВА, 2009
26

27. ПРОДОЛЖЕНИЕ ВЫЧИСЛЕНИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

2 13
2 4
7
1 15
3
1 70 130 13 21 30 260 14,
5
2 1 13
3 4
3
7 90 140 7 39 28 60 28.
1 2 15
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009
27

28. ОКОНЧАТЕЛЬНЫЙ ОТВЕТ

1 42
x
3,
14
2 14
y
1,
14
3 28
z
2.
14
ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009
28

29. БЛАГОДАРИМ ЗА ВНИМАНИЕ!

ООО "РЕЗОЛЬВЕНТА"
МОСКВА, 2009
29