Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Модуль 5

2. § 1. Понятие функции двух переменных.

§ 1. Понятие функции двух
переменных.

3.

• Пусть x, y – две независимые
друг от друга переменные.
Графически пару независимых
переменных (x, y) можно
представить как точку M(x, y) на
плоскости xOy. Пусть D –
некоторое множество точек
M(x, y).

4.

• Опр. Если каждой точке M(x, y)
из множества D по некоторому
закону f ставится в соответствие вполне определенное
действительное число z, то
говорят, что z есть функция двух
переменных x и y и пишут
z = f(x, y) или z = f(M),
где M = M(x, y) – точка плоскости.

5.

• Геометрическим изображением
функции двух переменных
является некоторая поверхность
в трехмерном пространстве.

6. Примеры:

• График функции
2
z x y
2
• (эллиптический параболоид)

7.

• график функции
z x y
2
2
(гиперболический параболоид)

8.

• График функции
z e
( x 2 y 2 ) / 8
(sin x cos y )
2
2

9.

• График функции z sin x 2 sin y

10.

• Опр. Областью определения
функции z = f(x, y) называется
множество D точек M(x, y), в
которых функция z = f(x, y)
определена и может быть
вычислена. Все значения,
которые принимает функция
z = f(x, y) (в области ее
определения), образуют
множество значений функции.

11. Примеры

12. Графическое изображение области определения функции.

• Пример. Построим область
определения функции
w
y x
2

13.

14. Линии уровня

• Опр. Множество точек
плоскости таких, что функция
f(x, y) принимает в них одно и то
же значение, f(x, y) = c,
называется линией уровня.

15.

16.

17.

18.

19. Построение графика функции двух переменных

• Рассмотрим пример построения
графика функции
f ( x, y) 100 x y
2
2

20.

• Зафиксируем какое-нибудь
значение этой функции,
например, z = 75. Тем самым мы
определили в пространстве
плоскость z = 75. Находим
линию уровня при z = 75:
• 100 – x2 – y2 = 75, откуда
x2 + y2 = 25 – уравнение
окружности.

21.

22.

• Находя множество линий
уровня, строим весь график.

23.

24. § 2. Понятие функции трех и более переменных.

§ 2. Понятие функции трех и
более переменных.
• Всякая упорядоченная
совокупность действительных
чисел (x1, x2, …, xn) называется
точкой n–мерного пространства
Rn. Пусть D – некоторое множество точек пространства Rn.

25.

• Опр. Если каждой точке
M(x1, x2, …, xn) из области D по
некоторому закону f ставится в
сответствие вполне
определенное число u, то
говорят, что u есть функция n
переменных и пишут
u = f(x1, x2, …, xn) или u = f(M)
где M = M(x1, x2, …, xn) – точка
n–мерного пространства.

26. Примеры

27.

• Опр. Множество точек
пространства, в которых
функция трех переменных
f(x, y, z) принимает одно и то же
значение, f(x, y, z) = c,
называется поверхностью
уровня.

28.

29. § 3. Предел и непрерывность функции нескольких переменных

§ 3. Предел и непрерывность
функции нескольких
переменных

30.

• Опр. Число A называется
пределом функции z = f(x, y) в
точке M0(x0, y0), если для
каждого числа ε > 0 найдется
такое число δ = δ(ε), что при
0 < |x – x0| < δ и 0 < |y – y0| < δ
выполняется неравенство
|f(x,y) – A| < ε. При этом пишут
A lim f ( x, y) lim f (M )
x x0
y y0
M M 0

31.

• Опр. Функция z = f(x, y)
называется непрерывной в
точке M0(x0, y0), если функция
z = f(x, y) определена в этой
точке и существует
lim f ( x, y) f ( x0 , y0 ).
x x0
y y0

32.

• Аналогичные определения
имеют место и для функции
u = f(x1, x2, …, xn) в случае
произвольного числа n
переменных.

33.

• Если в какой – либо точке
условие непрерывности не
выполняется, то эта точка
называется точкой разрыва
функции f(x, y). Это может быть
в следующих случаях:

34.

• 1. Функция z = f(x, y) не
определена в точке M0(x0, y0).
• 2. Не существует предел
lim f ( x, y)
x x0
y y0
• 3. Этот предел существует, но он
не равен f(x0, y0).

35. § 4. Частные производные функции нескольких переменных

§ 4. Частные производные
функции нескольких
переменных

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

• Пусть z = f(x, y) – функция двух
переменных. Дадим
независимой переменной x
приращение Δx, оставляя при
этом переменную y неизменной.
Тогда функция z получит
приращение
x z f ( x x, y ) f ( x, y )
которое называется частным
приращением z по x.

46.

• Аналогично, если независимой
переменной y дадим
приращение Δy, оставляя при
этом неизменной переменную x,
то функция z получит
приращение
y z f ( x, y y) f ( x, y),
называемое частным
приращением z по y.

47.

• Опр. Частной производной по x
от функции z называется
предел отношения частного
приращения Δxz к приращению
Δx при стремлении Δx к нулю.
• Эта производная обозначается
одним из символов
z
, z x ,
x
f
,
x
f x ( x, y ).

48.

Таким образом, по определению,
xz
f ( x x, y) f ( x, y)
z
lim
lim
x x 0 x x 0
x

49.

• Аналогично определяется
частная производная от функции z = f(x, y) по переменной y :
yz
f ( x, y y ) f ( x, y )
z
lim
lim
y y 0 y y 0
y
Обозначается одним из символов
z
f
, z y ,
,
y
y
f y ( x, y).

50.

• В общем случае частной
производной первого порядка
функции u = f(x1, x2, …, xn) по
переменной xk называется
предел
xk u
u
lim
xk xk 0 xk
f ( x1 , , xk xk , , xn ) f ( x1 , , xk , , xn )
lim
xk 0
xk

51.

• Т.к. при вычислении частных
производных все переменные,
кроме одной, считают
постоянными, то для частных
производных сохранаяются все
правила и формулы
дифференцирования функции
одной переменной.

52.

• Пример. Найти частные
производные функции
x
z x y
y
2

53.

• Решение. Полагая y = const,
находим
z
1
2 xy
x
y

54.

• Полагая x = const, находим
z
1
x
2
2
x 1 x( 2 ) x 2
y
y
y

55.

• Пример. Найти значения
частных производных функции
2
2
u ln( x y ) xyz
в точке M(1, –1, 0).

56.

• Решение. Полагая y = const,
z = const, находим
u
1
2
(
2
x
0
)
1
yz
2
y
,
z
c
x
x y
2x
2
yz
2
x y
Ì
2
0 1
1 1

57.

• Аналогично находим
u
1
2
(
0
2
y
)
1
xz
2
x
,
z
c
y
x y
2y
2
2
xz
0
1
2
x y
1 1
M
u
0 1 xy xy M 1
z x, y c

58.

• Предположим, что функция
z = f(x, y) имеет непрерывные
частные производные
z
f x ( x, y )
x
z
f y ( x, y)
y

59.

• Эти производные в свою
очередь являются функциями
независимых переменных x и y.
Будем называть f x ( x, y )
f y ( x, y ) частными
и
производными 1-го порядка.

60.

• Частными производными 2-го
порядка называются частные
производные от частных
производных 1-го порядка.
• Для функции z = f(x, y) двух
переменных можно найти
четыре частные производные 2го порядка, которые обозначаются следующим обр-м:

61.

62.

• В общем случае смешанные
частные производные могут не
совпадать, однако для них
справедлива теорема:
• Теорема. Если смешанные
частные производные f xy и f yx
непрерывны в некоторой точке
M(x, y), то они равны, т. е.
f xy ( x, y) f yx ( x, y)

63.

• Частными производными n–го
порядка называются частные
производные от частных
производных (n – 1)–го порядка.
• Их обозначают
z
,
n
x
n
и т. д.
z
,
n 1
x y
n
z
n 2
2
x y
n

64.

• Частные производные любого
порядка, взятые по различным
переменным, называются
смешанными.

65.

• Пример. Найти частные
производные 2-го порядка
функции
3 2
z x y sin( xy 1)

66.

• Решение. Последовательно
находим
z
2 2
3x y y cos(xy 1);
x y c
z
3
2 x y x cos(xy 1);
y x c

67.

z
2 2
3
x
y
y
cos(
xy
1
)
2
y c
x
x
2
2
6 xy y sin( xy 1);
2
y c
z
2 2
3x y y cos( xy 1)
x c
x y y
2
6 x y cos( xy 1) yx sin( xy 1);
2
x c

68.

z
3
2 x y x cos( xy 1
y c
y x x
2
6 x y cos( xy 1) yx sin( xy 1)
2
y c
z
3
2
x
y
x
cos(
xy
1
)
2
x c
y
y
2
2 x x sin( xy 1)
3
x c
2