Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Примеры функций нескольких переменных
Декартово произведение
Функция п действительных переменных
Функции
Окрестность точки
Найти область определения функции
График функции f: Х→R
Функции двух переменных
Предел функции в точке М0 (х0; у0) (при х→х0 и у→у0)
Непрерывность функции в точке
Частные приращения функций двух переменных
Частные производные функции двух переменных
Частные производные функции двух переменных
Геометрический смысл частных производных
Дифференцируемость функции
Полный дифференциал функции
Необходимое условие дифференцируемости функции
Достаточное условие дифференцируемости функции
Частные производные высших порядков
Частные производные высших порядков
Теорема Шварца
Дифференциалы высших порядков
Точки экстремума
Необходимое условие существования экстремума
Замечание.
Достаточное условие существования экстремума
Замечание.
Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области D
904.50K
Категория: МатематикаМатематика

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

2. Примеры функций нескольких переменных

S(a, b)=a·b – площадь прямоугольника со
сторонами a и b.
m
T 2
k
– период колебаний груза массы m
на пружине с жесткостью k.
P
R
a b
– уровень рентабельности зависит от
прибыли Р на реализованную продукцию,
величины основных а и b оборотных фондов.

3. Декартово произведение

E1 E2 ... En
( x1 , x2 ,..., xn ) | xi Ei
i Ei R R
n

4. Функция п действительных переменных

Отображение f: Х →R, где X R n
называется действительной функцией п
действительных переменных (аргументов).
Соответствие f, которое для каждой пары
действительных чисел (х; у) из множества
2
D R определяет один и только один
элемент z из множества Z, называется
однозначной функцией двух переменных.

5. Функции

z=f(x; y)
f: D →Z
y=f(x1; x2;…; xn)
y f (x )
f: Х →R
Область определения
(существования) функции

6. Окрестность точки

δ-окрестностью точки М0 (х0; у0) называется
множество всех точек М(х; у) плоскости хОу,
координаты удовлетворяют неравенству
( x x0 ) ( y y0 )
2
М0 δ
2
(M ; M 0 ) ( x x0 )2 ( y y0 )2

7. Найти область определения функции

z
y
1
1
1 x y
2
2
D( f ) : 1 x y 0
2
2
x y 1
2
2
0
1
х

8. График функции f: Х→R

( x1 , x 2 ,..., x n , y ) R
n 1
: y f ( x1 , x 2 ,..., x n )
При п=2 графиком функции является
поверхность в R3.

9. Функции двух переменных

f
( x, y ) x y
2
f ( x, y) x 2 y 2
z x2 y2
2
F
F

10. Предел функции в точке М0 (х0; у0) (при х→х0 и у→у0)

A lim f ( x; y ) 0 ( ) 0 :
M M 0
x x0 , y y0 ( M ; M 0 )
| f ( x; y ) A |
lim f ( x; y) lim f ( x; y)
M M 0
x x0
y y0

11. Непрерывность функции в точке

Функция z = f(x,y) называется
непрерывной в точке М0 (х0; у0), если
lim f ( x; y) f ( x0 ; y0 )
x x0
y y0

12. Частные приращения функций двух переменных

Функция z=f(x, y) определена в окрестности точки М(х, у).
Δх – приращение переменной х в точке М (переменная у
остается неизменной).
Частным приращением функции z=f(x, y) по переменной х
называется x z f ( x x, y) f ( x, y)
z
f(M) Δ z
Δхyz
f(M
)
y
f(Mx)
z = f (x, y)
y+Δy Δy y
0
Δх
х х
x+Δх
My
M
Mx
D
y z f ( x, y y ) f ( x, y )
у

13. Частные производные функции двух переменных

Частной производной функции z=f(x, y) по
переменной х называется предел, если он
существует, отношения частного
приращения функции по переменной х к
приращению этой переменной, когда
последнее стремится к 0.
xz
z
f ( x x, y ) f ( x, y )
lim
lim
x x 0 x x 0
x

14. Частные производные функции двух переменных

z
z
f ( x x, y ) f ( x, y )
lim x lim
x x 0 x x 0
x
y f
z
f ( x, y y) f ( x, y)
lim
lim
y y 0 y y 0
y
Частные
производные
функции z по
переменным х и у.
Обозначения частной производной функции z=f(x, y)
f
по переменной х: f x/ ( x, y )
z x
x
вычисленной в точке М(х0, у0)
f x ( x0 , y0 )
z
x
x x0
y y0

15. Геометрический смысл частных производных

z
P( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))
х=х0
z = f (x, y)
z = f (x0, y)
z = f (x, y0)
Р
0
х0
х
α
у0
f x/ ( x0 , y0 ) tg
f y/ ( x0 , y0 ) tg
у
β
M0
Частная производная f /x(x0, y0) – угловой
коэффициент касательной к линии
пересечения поверхности z = f(x,y) и
плоскости у=у0 в соответствующей точке.

16.

Полное приращение
функций двух переменных
z
z = f (x, y)
0
х
x+Δх Δх
х
y+Δy
Δу у
у
M
z f ( x x, y y ) f ( x, y )

17. Дифференцируемость функции

Функция z=f(x; y) называется
дифференцируемой в точке М, если
полное приращение этой функции
z f ( x x, y y ) f ( x, y )
можно представить в виде
z A x B y о( )
о( )
2
2 lim
0
x y x 0
y 0

18. Полный дифференциал функции

Полным дифференциалом
дифференцируемой функции z=f(x; y) в точке
М называется главная часть её приращения,
линейная относительно Δх и Δу, т.е.
z A x B y о( )
dz A x B y
dz A dx B dy

19. Необходимое условие дифференцируемости функции

Если функция z=f(x; y) дифференцируема
в точке М(х; у), то она непрерывна в этой
точке и имеет в ней частные
z
z
производные, причем
A
x
z
z
dz dx dy
x
y
; B
y

20. Достаточное условие дифференцируемости функции

Если функция z=f(x; y) в точке М(х; у)
имеет непрерывные частные
производные, то она дифференцируема в
этой точке.

21. Частные производные высших порядков

z z
,
x y
z = f (x, y)
частные производные первого порядка
(непрерывные и имеют частные производные)
z z
2
x x x
2
z z
2
y y y
2
z
z z
z
2
x2
x
y x x y
2
2
частные
производные
второго
порядка
z z
x y y x
2
Смешанные

22. Частные производные высших порядков

z
z
z
xy
2
y
x y
y x y
3
f
2
(n)
xi 1 xi 2 ... xi n
f
частная
( 3) производная
z xy 2
третьего
порядка
( n 1)
xi 1 xi 2 ... xi n 1
xi n

23. Теорема Шварца

z
z
x y y x
2
2
z
z
z
2
2
y x y y x x y
3
3
3
Если функция от п переменных определена в
открытой п-мерной области, в которой
существуют частные производные до (k–1)го порядка включительно и смешанные
производные k-го порядка включительно и
все эти производные непрерывны, то
смешанные производные k-го порядка,
отличающиеся
лишь
порядком
дифференцирования, равны между собой.

24. Дифференциалы высших порядков

z = f (x, y)
z
z
полный дифференциал
dz dх dу первого порядка
х
у
d z d (dz )
2
дифференциал
второго порядка
z 2
z
z 2
d z 2 dх 2
dxdу 2 dу
х
x у
у
2
2
2
2

25. Точки экстремума

Функция z=f(x, y) определена в области D
Точка М0(х0, у0) области D называется точкой локального максимума
(минимума) если существует В(М0, δ), что для всех точек М(х, у) из
В(М0, δ)∩D выполняется неравенство f(x0, y0) ≥ f(x, y) ( f(x0, y0) ≤ f(x, y)).
Точки максимума и минимума (Δz – знакопостоянно) функции
называются точками экстремума, а значения функции в этих точках –
экстремальными.
z
z
z = f (x, y)
z = f (x, y)
у
М0
х
у
М0
М
х

26. Необходимое условие существования экстремума

Если функция z=f(x, y) определена и дифференцируема в
В(М0, δ) и имеет в точке М0(х0, у0) экстремум, то в этой
точке частные производные первого порядка равны нулю:
f ( M 0 )
f ( M 0 )
0
0
x
y
z
Эта система эквивалентна
уравнению df(x, y)=0.
z = f (x, y)
у
М0
х
М

27.

Точка М0(х0, у0), в которой все частные производные
функции z=f(x, y) существуют и равны нулю,
называется стационарной точкой данной функции.
Необходимое условие достижения дифференцируемой функцией
z=f(x, y) экстремума в точке М0(х0, у0) геометрически выражается в
том, что касательная плоскость к поверхности (графику функции
z=f(x, y)) в соответствующей её точке параллельна плоскости
независимых переменных.
z
z
z = f (x, y)
z = f (x, y)
О
М0
х
О
у
у
М0
х

28. Замечание.

Функция z=f(x, y) может иметь экстремум и в таких точках, в которых
по крайней мере одна из частных производных не существует.
Например, функция z x 2 y 2 в точке О(0, 0) имеет минимум, но в
этой точке частные производные первого порядка не существуют.
f
x
f
y
z
x
x y
2
z x2 y2
2
y
x y
2
у
2
х
Точки, в которых частные производные равны нулю или хотя бы одна
из них не существуют, называются критическими точками.

29. Достаточное условие существования экстремума

Случай функции двух переменных
Пусть функция z=f(x, y) определена, непрерывна и непрерывно
дифференцируема до второго порядка включительно в некоторой
окрестности точки М0(х0, у0), причем grad f ( M 0 ) 0. Обозначим
2 f (M 0 )
2 f (M 0 )
2 f (M 0 )
a11 a12
a
a
a
11
22
12
x 2
y 2
x y
a21 a22
Если Δ>0, а11<0, то точка М0(х0, у0) – точка максимума;
Если Δ>0, а11>0, то точка М0(х0, у0) – точка минимума;
Если Δ<0, то точка М0(х0, у0) не является точкой экстремума;
Если Δ=0, то требуются дополнительные исследования.
Точка М0(х0, у0) является точкой экстремума если d2f (M0) знакопостоянен.

30. Замечание.

Стационарная точка функции z=f(x, y) может и не являться точкой
экстремума.
Например, функция z x 2 y 2 в точке О(0, 0) не имеет экстремума,
хотя в этой точке частные производные первого порядка равны нулю.
f
2x
x
2
0
0 2
f
2 y
y
f ( x, y) x 2 y 2
z
у
4 0
х
F

31. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области D

z
z = f (x, y)
Находим все максимумы и
минимумы функции z=f(x, y)
внутри области D и вычисляем
значение функции в них.
Находим наибольшее и
наименьшее значение
функции на границе
области D.
у
х
М0
D
М
Наибольшее из всех этих
чисел будет наибольшим
значением функции f(x, y)
в области D, а
наименьшее –
наименьшим.
English     Русский Правила