Показатели качества устойчивых ЛСС и методы их определения. Точность ЛСС в установившемся режиме

1.

Автоматика и управление
Тема 6. Качество ЛСС
Лекция 7. Показатели качества устойчивых ЛСС и методы их
определения. Точность ЛСС в установившемся режиме при
действии медленноменяющихся входных сигналов. Статические
и астатические системы. Оценка качества переходного процесса
по распределению корней характеристического уравнения АС.
Интегральная квадратичная оценка качества (ИКО). Полоса
пропускания АС.

2.

Качество - обобщенное понятие, определяющее степень
работоспособности устойчивых ЛСС.
степень устойчивости; быстродействие; точность.
6.1. Показатели качества устойчивых ЛСС и методы их
определения
Показатели качества определяются по динамическим
характеристикам АС.
Прямые показатели качества : величина перерегулирования
hm ( ), время регулирования tр (время переходного процесса),
ошибка в установившемся режиме e(t).
Косвенные: запасы устойчивости 3, L3, интегральные оценки
качества и др.
Различают точные и приближенные методы определения
показателей качества.
Точные методы основаны на анализе переходных процессов
или аналитических выражений передаточных функций АС.

3.

По графику переходной функции h(t) определяются следующие
прямые показатели качества:
h(t)
e( )
hm
0
tcp
ty
0,95h( )
h( )
1,05h( )
tp
t
Время регулирования tр - время установления переходного
процесса с точностью до 5% относительно установившегося
значения переходной функции h( ).
Значение выходного сигнала принято считать установившимся по
истечении 3tр с момента подачи на вход системы задающего
воздействия.

4.

Перерегулирование hm - относительный максимальный выброс
переходной функции h(t)
чем меньше hm, tр и
hm h( )
e( ), тем лучше
100%
hm =
h(t)
h( )
качество АС
e( )
hm
0
tcp
ty
h( )
0,95h( ) 1,05h( )
tp
t
Время срабатывания tср - время достижения переходной функцией
величины 0,95h( )
Время установления tу - время достижения переходной функцией первого
максимума.
Число колебаний (максимумов) Nк переходной функции за время
регулирования.
Ошибка в установившемся режиме e( ) - разность между задающим
воздействием и установившемся значением выходного сигнала (для
статических следящих систем).

5.

Приближенные методы определения показателей качества
основаны на анализе частотных характеристик АС.
Запасы устойчивости 3 и L3, hm, tр, e(t) и полоса
пропускания п
Важным показателем качества является точность отработки АС
задающего воздействия в установившемся режиме.

6.

6.2. Точность ЛСС в установившемся режиме при действии
медленноменяющихся входных сигналов
Методика определения ошибки следящей ЛСС в
установившемся режиме, при воздействии на ее вход
медленноменяющегося полезного входного сигнала:
x(t) = a0 + a1t + a2t2+...
ошибка
X(p)
Е(p)
W(p)
Y(p)
W ( p)
1 W ( p) W ( p)
1
1 W ( p)
1 W ( p)
1
X(p) = S(p)X(p)
E(p) = X(p)-Y(p) = X(p)-Ф(p)X(p) = [1-Ф(p)]X(p) =
1 W( p )
Допустим, что передаточная функция АС по ошибке S(p)
представляет собой полином n-й степени относительно p:
S(p) = S0+ S1p + S2p2+...

7.

Ряд Тейлора -
S(p) можно разложить в ряд Тейлора в точке p=0, поскольку S(p)
рациональная функция и точка p=0 не является ее полюсом
2
(а0 0) т.к. АС устойчива:
p
p
S(p) = S(0)+ S(1)(0) +
S(2)(0) +...
2!
1!
(2)
S ( 1 )( 0 )
S
(0 )
Обозначив S(0) = S0;
= S1
=S2, ...
1!
2!
получим S(p) = S + S p + S p2+...
0
1
2
Тогда изображение ошибки системы определится равенством:
E(p) = S(p)X(p) = (S0+S1p+S2p2 +...)X(p) = S0X(p)+S1pX(p)+S2p2X(p)+...
Применив операцию L-1[E(p)]
e(t) = S0x(t)+S1x(1)(t)+S2x(2)(t)+...
Коэффициенты Si , разложения передаточной функции S(p) в
степенной ряд относительно переменной p называются
коэффициентами ошибок.

8.

Как вычислить Si?
S( p )
в m p m в m-1 p m 1 в1 p в0
an p n an 1 p n 1 a1 p a0
в m p m в m-1 p m 1 в1 p в0
an p n an 1 p n 1 a1 p a0
S0 S1 p S 2 p 2
в m p m в m-1 p m 1 в1 p в0 ( S 0 S 1 p S 2 p 2 )( a n p n a0 );
в m p m в m-1 p m 1 в1 p в0 S 0 a0 ( S 0 a1 S 1 a0 ) p ;
два полинома равны тогда и только тогда, когда равны
коэффициенты при одинаковых степенях аргумента р левой и
правой частей равенства.
Количество коэффициентов
обусловлено минимальным
порядком производной входного
сигнала x(t), равной нулю.
p0
в 0 S 0 a0 S 0
в0
а0
1
( в1 а1 S 0 );
а0
p 1 в 1 S 0 a1 S 1 a0 S 1

9.

Пример: x(t) = t+2t2,
x(1)(t) = 1+4t, x(2)(t) = 4, x(3)(t) = x(4)(t) =...= 0,
следовательно,
число
коэффициентов
ошибок,
подлежащих определению, равно 3: S0, S1, S2,
т.к. ошибка АС в установившемся режиме для такого
сигнала будет определяться равенством:
e(t) = S0x(t)+S1 x(1)(t)+S2 x(2)(t).
Методику можно применить для нахождения выходного
~
сигнала системы y(t), при этом коэффициенты S i
вычисляются из передаточной функции Ф(p).

10.

Пример:
x(t) =
5-6t+7t2;
Ф(p) =
K
T 2 p 2 2T p 1
где T = 1, K = 1, = 0,5
Определим y(t):
~
~ (1)
~ ( 2)
y (t ) S0 x(t ) S1 x (t ) S2 x (t )
x(1)(t) =-6+14t, x(2)(t) =14,
x(3)(t) =0.
~ ~ ~
необходимо вычислить 3 коэффициента: S0 , S1 и S 2
~
~
~
K/( T p 2T p 1 )= S 0 S 1 p S 2 p ;
~ ~
~
K=( T 2 p 2 2T p 1 )( S 0 S 1 p S 2 p 2 );
~
p0
K S 0 Ф(0) 1,
~ ~
~
y(t) = (5-6t+7t2)-(-6+14t) =
p1
0 S 1 S 0 2T S 1 2T K 1,
2
~
~
~
~
2 0 S T 2 S 2T S S KT 2 ( 4 2 1 ) 0. =11-20t+7t
p
0
1
2
2
2
2
2

11.

Если на следящую ЛСС действует несколько входных
сигналов, то в силу линейности АС, справедливо равенство:
E(p) = EX(p)+EF(p) = ФXE(p)X(p)+ФFE(p)F(p)
F(p)
X(p)
Ф XЕ (p)=S(p)=-
-Е(p)
-Е(p)
W1(p)
W2(p)
W2
1
(p)=
, W(p) = W1(p)W2(p)
, ФFЕ
1 W( p )
1 W( p )
Bx ( p )
S0+S1p+S2p2+...
S(p)=
Ax ( p )
ФFЕ
(p)=
BF ( p ) ~
S 0 S~1 p S~2 p 2 ;
AF ( p )
Определяются коэффициенты ошибок
BX(p) = (S0+S1p+....)AX(p)
~ ~
S
BF(p) = ( 0 S1 p )AF(p)

12.

Ошибка системы в установившемся режиме:
e(t) = ex(t)+ef(t)
eх(t)=S0x(t)+S1x(1)(t)+S2x(2)(t)+...-составляющая
задающего сигнала
ошибки
~
~ (1)
~ (2) 2
ef(t) = S 0 f S 1 f p S 2 f
p
- составляющая ошибки от сигнала помехи.
Полученный результат можно обобщить для любого
количества входных сигналов, действующих на ЛСС.
от

13.

6.3. Статические и астатические системы
ЛСС по отношению к входному сигналу x(t) называется
статической, если начальный коэффициент ошибки S0
отличен от нуля:
S0 0
Статическая, по отношению к полезному входному
сигналу, АС - это такая, ошибка которой в установившемся
режиме не равна нулю при постоянном входном сигнале,
т.е., если
x(t) = a = const, то e(t) = S0x(t) 0.
ЛСС по отношению к входному сигналу x(t) называется
астатической -го порядка, если первые
коэффициентов ошибки подряд равны 0, то есть:
S0= 0, S1= 0,...,S -1= 0, S 0.

14.

Например:
S 0 0 ЛСС второго
S 1 0 порядка ас S 2 0 татизма 2;
S 0 0 ЛСС первого поряд
S 1 0 ка астатизма 1;
S 0 0 ЛСС первого
S 1 0 порядка ас S 2 0 татизма 1.
1. Ошибка системы e(t) в установившемся режиме равна 0,
если > k, и описывается полиномом порядка (k- ), если k,
k
т.е.: e(t) = 0, если > k;
e( t ) ai t i
если k
i 0
где k - порядок полинома, описывающего входной сигнал.
2. Чем выше порядок астатизма АС, тем она принципиально
точнее.
3. Ошибка АС тем меньше, чем меньше коэффициенты ошибки.

15.

Основное (необходимое и достаточное)
условие астатизма
ЛСС по отношению к входному сигналу x(t) является
астатической -го порядка тогда и только тогда, когда в
передаточной функции АС по ошибке от этого входного
согнала:
m
B( p)
Ф XE ( p)
A( p)
в p
i
в p
i
i 0
n
i 0
i
i
имеется дифференцирующих звеньев
~
p B ( p) p (вm p m- в 1 p в )
ФXE ( p)
.
n
A( p)
аn p а1 p a0

16.

Порядок астатизма замкнутой ЛСС по отношению к
задающему воздействию равен числу интегрирующих звеньев
в передаточной функции разомкнутой системы.
Порядок астатизма ЛСС по отношению к возмущению,
равен числу интегрирующих звеньев i, включенных между
входом возмущения и выходом системы против хода сигнала,
или числу дифференцирующих звеньев d, включенных между
входом возмущения и выходом системы по ходу сигнала
F(p)
X(p)
W1(p)
W2(p)
Если структурная схема АС содержит как интегрирующее i, так и
дифференцирующие d звенья, включенные между входом возмущения и
выходом системы соответственно против и по ходу сигнала, то порядок
астатизма системы по отношению к возмущению равен максимальному из
чисел i или d.

17.

Влияние коэффициента усиления разомкнутой
системы на ошибку ЛСС
Если передаточная функция разомкнутой следящий системы
Е(p)
X(p)
d 0 d1 p d m 1 p m 1 d m p m
W( p )
,
n 1
n
C0 C1 p Cn 1 p Cn p
W(p)
Y(p)
то, передаточная функция по ошибке от задающего воздействия
1
C0 C1 p Cn 1 p n 1 Cn p n
ФXE ( p)
1 W ( p) (C0 d 0 ) (C1 d1 ) p (Cm d m ) p m Cn p n
с другой стороны
Ф XE ( p ) S0+S1p+S2p2+...
Тогда
(C0+C1p+...+Cnpn) = (S0+S1p+...)[(C0+d0)+(C1+d1)p+...+Cnpn],
p0
C0 S0 (d 0 C0 )
p1 C1 S0 (C1 d1 ) S1 (C0 d 0 ) и т.д.
Если АС статическая, то C0 0
1
S0
K 1 e(t ) a
a
K 1
e(t) = S0a =
Пусть C0=1, тогда W(0) = d0=K - коэффициент
усиления разомкнутой системы.
Допустим, что x(t) = a = const.
K 1

18.

Ошибка статической АС в отработке постоянного
входного сигнала уменьшается при увеличении коэффициента
усиления разомкнутой системы.
вывод справедлив не только для статических АС, но и для всех
астатических систем
АС астатична 1 порядка ( =1). Тогда, согласно основного условия астатизма,
коэффициенты C0=0, а C1 0.
C S (d C )
p0
0
0
0
0
p1 C1 S0 (C1 d1 ) S1 (C0 d 0 ) и т.д.
Пусть C1 =1, а d0=K. Тогда
Допустим, что x(t) = a0+a1t, тогда
x(1)(t)=a1= const
S0 = 0, S1= 1/K
(1)
x
(t ) a1
(1)
e(t) = S0x(t)+S1x (t) =
K
K
Ошибка астатической системы I порядка в отработке линейно
изменяющегося задающего воздействия равна отношению
скорости изменения входного сигнала к коэффициенту усиления
разомкнутой системы.

19.

Связь коэффициентов ai, вi передаточной функции
замкнутой системы с порядком ее астатизма
Пусть передаточная функция разомкнутой системы:
Тогда передаточная функция
замкнутой системы
d 0 d1 p d m 1 p m 1 d m p m
W( p )
,
n 1
n
C0 C1 p Cn 1 p Cn p
в0 в1 р вm 1 р m 1 вm р m
W(p)
Ф( р )
1 W(p) a0 a1 p an 1 p n 1 an p n
где в0= d0, в1 = d1,..., вm= dm; a0= C0+d0, a1= C1+d1 , ..., am=(Cm+dm ),
..., an= Cn.
Пусть =1, тогдаC0= 0, а C1 0.
Сравнивая коэффициенты ai и вi - a0=в0, а a1 в1 и Ф(р)р=0=1.
Пусть =2, тогда C0=0, C1=0, C2 0. В этом случае очевидно, что в0=а0, в1=а1,
в2 а2.
Порядок астатизма замкнутой АС по отношению к
задающему воздействию определяется числом равных друг
другу первых (с младшими индексами) коэффициентов ai и вi
ее передаточной функции.

20.

6.4. Оценка качества переходного процесса по распределению
корней характеристического уравнения АС
Рассмотрим передаточную функцию устойчивой АС, не имеющую нулей:
Ф(p)
K
an p n an-1 p n 1 a1 p a0
о - вещественный корень,
* - комплексно-сопряженные
корни.
jI
*
*
*
*
*
*
R
полюса (корни A(p)=0) расположены в
левой полуплоскости комплексной
плоскости.
Степень колебательности
= tg , где - половина угла
минимального центрального
сектора, охватывающего все
полюса передаточной
функции АС.
Степень устойчивости - удаление от мнимой оси
ближайших к ней действительного или пары комплексно сопряженных корней характеристического уравнения.

21.

jI
*
*
*
*
*
*
R
Ближайшему к мнимой оси полюсу
соответствует медленно
изменяющаяся составляющая
переходной функции, следовательно,
величина определяет время
регулирования АС. Очень грубо
можно принимать
tp
З
Степень колебательности = tg тесно связана с перерегулированием
АС hm . Если два полюса системы комплексно-сопряженные, а остальные
действительные, то
hm e- / 100% - формула Фельдбаума А.А.
В общем случае данная зависимость позволяет оценить верхнюю
границу перерегулирования. Из нее следует, что для уменьшения hm
необходимо уменьшить (т.е. угол ).
При наличии нулей в передаточной функции АС их расположение на
комплексной плоскости необходимо также учитывать при оценке качества
переходного процесса. В частности, чем ближе они расположены к мнимой
оси, тем больше hm

22.

6.5. Связь показателей качества замкнутой АС
с параметрами ЛЧХ разомкнутой системы
Рассмотрим на примере АС второго порядка
X(p)
Y(p)
K1
p( T1 p 1 )
Передаточная функция замкнутой АС
K1
W(p)
Ф(p)
2
1 W(p) T1 p p K 1
Приведем к первой стандартной форме записи
K
K = 1, T= T1 / K
Ф(p) T 2 p 2 2T p 1
1
2 T1 K 1

23.

Рассмотрим три возможных вида ЛЧХ разомкнутой системы
L
-20
-20
K1
0
L
c
0
-900
-20
c=K1=T1 1
-900
-40
K
Ф(p) T 2 p 2 2T p 1
1
c
T1
1
c
T1
-900
-1800
-1800
1
c
T1
T1 1= 3
c=K1
3
3
-1800
0
-40
L
-40
3
1
2 T1 K 1
K = 1, T= T1 / K
Низкочастотная асимптота, соответствующая ЛАХ интегрирующего звена,
пересекает ось абсцисс на частоте =K1, поэтому
1
1
1
K1
K1
K1
< 0,5, = 0,5, > 0,5
T
T1
1
T1

24.

Если у колебательного звена < 0,5, то переходный процесс протекает со
значительным перерегулированием ( hm >20:30%). Это те АС, у которых c
лежит на участке ЛАХ с наклоном -40 дб/дк
L
-20
L
-20
K1
0
c
-40
-900
0
-900
3
-900
-40
3
-1800
-1800
T1 1 =
c=K1
3
-1800
-20
c=K1=T1 1
0
L
-40
3
если > 0,5, то hm < 20:30%, т.е. для АС, у которых c находится на
участке ЛАХ с наклоном -20 дб/дк
Обозначим 3 T1 1
1
2 T1 K 1
1 1
1
1 3
2 T1
K1 2 c
з = /2-arctg( с/ з)
hm
3

25.

Система имеет хорошее качество управления
(малое
перерегулирование, большой запас устойчивости), если наклон
отрезка ЛАХ, имеющего верхнюю границу з, на частоте с
равен -20 дб/дк, а соотношение
3
2
4.
c
Величина времени регулирования tр обратно пропорциональна
величине частоты среза c:
Kp
где K p 2 3.
tр
c
Данные выводы можно обобщить для широкого класса
минимально-фазовых АС, которые характеризуются
однозначной связью между ЛАХ и ЛФХ, поэтому оценку их
качества можно производить по виду только одной
характеристики, как правило ЛАХ

26.

1. Точность АС определяется параметрами низкочастотной асимптоты ЛАХ
разомкнутой системы.
2. Степень колебательности ( hm) и быстродействие (tp) определяются
параметрами среднечастотной асимптоты ЛАХ. т.е. асимптоты,
пересекающей абсциссу 0 дБ и которой принадлежит частота с.
3. В области высоких частот качество замкнутой АС не имеет заметных
связей с параметрами ЛАХ разомкнутой системы.
K ( T2 p 1 )l
W( p )
,
l
p( T1 p 1 ) ( T3 p 1 )
L,дб
60
40
1
20lgK
l = 1 или 2; = 1 или 2; T1>T2>T3
20
,с-1
3
0,1
1
1
-20
-40
2
10
100
1000

27.

1. Наклон низкочастотной асимптоты α определяет порядок
астатизма АС по отношению к задающему воздействию.
Если = -20 дб/дек, то = 1, если = -40 дб/дек, то = 2 и т.д.
2. Ординаты низкочастотной асимптоты L(1)=20lgK определяет
величину ошибки e(t) АС в установившемся режиме. Чем больше
L(1), тем больше К и, следовательно, тем меньше e(t), так как
e(t)≈[1/K], но одновременно уменьшается и степень ее устойчивости
3 , L3 .
3. Величина перерегулирования hm определяются параметрами
среднечастотной асимптоты: наклоном , ее протяженностью ( 2 3)
и расположением частоты c
относительно концов средней
асимптоты.
Так, hm 20 30%, если =-20 дб/дек, 3/ 2 10 и 2 3/ c 4.
4. Величина времени регулирования tр обратно пропорциональна
величине частоты среза c и прямо пропорциональна (но с меньшим
весом) h:
tр K0 / c , где K0= K0( hm )= 0,5 3,5,
или
tр K0/ c , где K0= Kр( hm )= 3 12.

28.

6.6. Интегральная квадратичная оценка качества (ИКО)
Интегральная оценка качества является косвенным показателем качества
АС, так как представляет собой обобщенную оценку времени
регулирования tр и величины перерегулирования hm, т.е. быстродействия
и степени устойчивости системы.
Интегральной оценкой качества переходного процесса
называется определенный интеграл вида:
I f n ( t ) dt
n = 1,2,3,
0
где f(t) - абсолютно интегрируемая функция времени,
характеризующая протекание переходного процесса АС.
Функция f(t) называется абсолютно интегрируемой, если
выполняется условие
0
f ( t ) dt .

29.

В качестве функции f(t) обычно используют временные
характеристики АС удовлетворяющие условию абсолютной
интегрируемости:
1. Весовая функция АС g(t);
2. Переходная составляющая ошибки (динамическая
ошибка) h(t) - h( ) = e(t);
3. Отклонение фактической переходной функции от
желаемой h(t) - hж (t);
4. Производные от перечисленных функций.
Интегральная оценка на графике равна площади фигуры
ограниченной функцией g (t ) и осью времени. Очевидно, чем
меньше эта площадь, а, следовательно, и соответствующая
интегральная оценка, тем лучше качество АС.

30.

Интегральная квадратичная оценка (ИКО)
g(t)
g1(t)
I=
f 2 (t) dt
0
g2(t)
t,c
I1
t,c
I2
t,c

31.

Пусть известно изображение по Лапласу подынтегральной функции f(t):
B( p ) в m p m в1 p 1 в0
F( p )
.
A( p ) a n p n a1 p a0
Допустим, что все корни полинома A(p), имеют отрицательные
действительные части и m n. Тогда функция f(t) удовлетворяет условию
абсолютной интегрируемости.
I=
0
в
f (t) dt I [ F ( p )]
2a n
2
an - старший коэффициент полинома A(p)
в и - детерминанты матриц B и A n-го порядков
a0
a
2
A a4
0
0
a1
a0
0
a3
a2
a1
0
an
0
0
0
a n 1
это квадратная матрица порядка
n, которая отличается от
матрицы Гурвица только тем, что
перед ее элементами в
шахматном порядке
относительно главной диагонали
проставлены знаки минус

32.

a0
a
2
B a4
0
0
a1
a0
0
a3
a2
a1
0
an
B0
B1
B2
Bn 1
-это квадратная матрица n-го
порядка, которая отличается от
матрицы A только элементами
последнего столбца, которые
определяются равенствами:
B0 в02 ,
B1 в12 2в0 в 2 ,
B2 в 22 2в1 в 3 2в0 в 4 ,
................
Bn 1 в n2 1 ,
где вi= 0, при i > m

33.

6.7. Полоса пропускания АС
Полосой пропускания АС называется диапазон частот (0 П),
в котором коэффициент усиления АС по мощности не
меньше половины от его величины при постоянном входном
Полоса пропускания характеризует
сигнале ( =0)
диапазон рабочих частот АС
Частота П называется границей полосы пропускания АС
Мощность сигнала пропорциональна квадрату его
амплитуды, тогда можно записать условие для определения
границы полосы пропускания П:
KWa2 ( П ) 0 ,5 КWa2 ( 0 )
Уравнение легко разрешить
графически
Wa ( П ) 0 ,707Wa ( 0 )
или
Wa( )
0,707Wa(0))
0
П
,c-1