Задача Ван Эвердингена-Херста и её решение

1.

Задача Ван Эвердингена-Херста и её решение
• Пусть количество отбираемой жидкости из
месторождения qж(t) равно количеству
поступающей воды к нефтяной залежи из
законтурной области пласта qзв(t), т.е. qж(t)= qзв(t).
• Для расчёта давления на контуре будем считать
законтурную область неограниченной. Поскольку в
водоносной зоне реализуется упругий режим, то
радиальная фильтрация воды в этой области
описывается следующим дифференциальным
уравнением:
∂p
∂ 2 p 1 ∂p
= χ ⋅( 2 +
)
∂t
∂r
r ∂r
,
где
p(r,t) – давление в некоторой точке законтурной
области в некоторый момент времени.

2.

• Запишем начальные и граничные условия:
p(r , t ) = p∞ при t = 0;
p(r , t ) = p∞ при R ≤ r ≤ ∞;
2π kh ∂p
,
qж = −
r
const
=
µ ∂r r = R
где
R – радиус контура питания месторождения.
• Решение указанного дифференциального уравнения
производится с помощью преобразования функции
давления по Лапласу, введением
∞
(r,s) =
− st
p
(
r
,
t
)
e
dt .
∫
0
• Метод решения этого уравнения при данных начальных и
граничных условиях выходит за рамки курса высшей
математики для технических ВУЗов.

3.

• Поэтому приведём здесь сразу решение, полученное Ван
Эвердингеном-Херстом:
q зв µ
p ( ρ , τ ) = p∞ −
⋅ f ( ρ ,τ ), где
2π kh
2 (1 − e
f ( ρ ,τ ) = ∫
π 0
∞
χt
r
ρ= ; τ = 2.
R
R
− u 2τ
) ⋅ [ J1 (u )Y0 (u ρ ) − Y1 (u )J 0 (u ρ ) ]
du ,
2
2
2
u J1 (u ) + Y1 (u )
• Функции J0(uρ), J1(u), Y0(uρ), Y1(u) называются функциями
Бесселя. В данном курсе функции Бесселя подробно не
рассматриваются.
• На контуре r = R, поэтому для определения изменения во
времени давления pкон(t) необходимо использовать значение
функции f(ρ, τ) при
r
ρ = = 1 , т.е. f(1, τ).
R

4.

• Достаточно громоздкий интеграл можно с хорошей
точностью аппроксимировать следующей формулой:
f (1,τ ) = 0,5 1 − e
−8,77 lg(1+τ )
+ 1,12 lg(1 + τ ),
или
−3,81
f (1,τ ) = 0,5 1 − (1 + τ ) + 1,12 ln(1 + τ ),
• Небольшое замечание: как видно, наличие радиуса у
скважины при упругом режиме (будь она
укрупненная или обычная) неизбежно приводит к
сложным вычислениям. Именно поэтому при
формулировке основного уравнения упругого
режима мы оговорили, что скважина у нас
представлена в виде точечного стока.

5.

Интеграл Дюамеля. Решение Ю.П. Желтова
для случая переменного дебита
На практике постоянство
добычи жидкости, принятое в
качестве допущения в
предыдущей задаче,
соблюдается редко.
Рассчитаем изменение
давления на контуре при
переменном во времени qзв =
q30(τ)
qзв
Δqзв2
Δqзв1
Δqзв0
λ1
λ2
λ3
λ
•Разобьём зависимость qзв = qзв(τ) на равные ступени по времени,
при этом помним, что τ - безразмерное время. Причем каждая
ступень Δqзвi начинается в момент времени λi. Таким образом,
используем два времени: τ, исчисляемое с начала разработки
месторождения, и λ с отдельными моментами времени λi,
соответствующими ступеньками Δqзвi = const.

6.

• В предыдущей задаче для давления на контуре было
получено, что:
qзв µ
⋅ f (1,τ ) .
pкон (τ ) = p∞ −
2π kh
• Учитывая, что qзв – это переменная величина, а так
же учитывая разбиение динамики qзв на ступени,
запишем: qзв
µ
⋅ ∑[ ∆qзв0 f (1,τ ) +∆qзв1 f (1,τ −λ1) +∆qзв2 f (1,τ −λ2 ) +...] =
pкон (τ ) = p∞ −
2πkh 0
µ qзв
= p∞ −
⋅ ∑∆qзвi f (1,τ −λi )
2πkh 0
• Разделим и умножим выражение, стоящее в правой
части под знаком суммы, на Δλ. В результате
τ
получим:
∆q
µ
pкон (τ ) = p∞ −
2π kh
⋅∑
0
звi
∆λ
f (1,τ − λi )∆λ
.

7.

• Перейдя к пределу при , приходим к интегралу:
τ
∂qзв
µ
pкон (τ ) = p∞ −
⋅∫
f (1,τ − λ )d λ
.
2π kh 0 ∂λ
• Этот интеграл называется интегралом Дюамеля.
Характерная динамика
основных технологических
показателей при всех видах
упругого режима
разработки показана на
рисунке.
Qн(текущее)
pпл
Г
Рнас
η
Такой вид зависимости
t
t`
пластового давления от
Динамика технологических показателей при упругом
времени характерен для
режиме разработки:
всех естественных
Qн – текущий дебит нефти; Рпл – пластовое давление;
Г – газовый фактор; η – коэффициент
режимов и иногда при
нефтеизвлечения; t ` – момент окончания
заводнении.
преобладания упругих сил в пластовых процессах

8.

Разработка нефтяных
месторождений в режиме
растворённого газа

9.

Механизм вытеснения нефти в режиме
растворенного газа
• Режим растворённого газа – это один из естественных режимов
разработки. Ещё одно название – режим истощения (Depletion
Drive или Solution Gas Drive, Gas Cap Drive, Dissolved-gas-drive).
• В процессе разработки нефтяного месторождения при
уменьшении давления ниже давления насыщения Рнас в пласте из
нефти начинает выделяться свободный газ. Когда объем
выделявшегося газа мал, газ остается в частице нефти в виде
небольших по размеру пузырьков. В пласте образуется
газонефтяная смесь и двухфазное течение. Выделившийся газ,
расширяясь, способствует вытеснению нефти из пласта. Режим
пласта, при котором происходит такое вытеснение нефти,
называется режимом растворенного газа. В этом режиме
газонасыщенность порового объема не превышает 10%, газовые
пузырьки связаны с частицей нефти. Однако нефть и газ
существенно отличаются по своим физическим свойствам.
Появление пузырьков газа увеличивает сопротивление движению
жидкости, они, расширяясь с понижением давления, вытесняют
нефть к добывающим скважинам.

10.

• Если произошло отделение газа от нефти по
всему пласту, газонасыщенность порового
объема достигла 10-20%, отдельные газовые
пузырьки начинают объединяться и образуют
непрерывную подвижную газовую фазу. Газ, как
более подвижная фаза, быстрее движется в
направлении
к
добывающим
скважинам,
частично блокируя поступление нефти к
скважине. В результате по мере снижения
давления добыча нефти падает, а газовый фактор
увеличивается.
В
дальнейшем
может
образоваться газовая шапка, режим становится
газонапорным.
• Обычно режим растворенного газа довольно
быстро переходит в газонапорный.

11.

• Часто существует смешанный режим: вблизи добывающих
скважин, расположенных внутри контура нефтеносности, режим растворенного газа, а в удалённой области водонапорный. По мере отбора нефти пластовое давление
монотонно снижается и становится близким к
атмосферному при достаточно высоком значении
нефтенасыщенности. Газовый фактор с уменьшением
насыщенности нефти сначала возрастает, и затем,
достигнув максимума, резко снижается почти до нуля.
Следовательно, пластовая энергия истощается уже при
отборе сравнительно небольших запасов нефти. Как видим,
режим является малоэффективным. Основной причиной
этого является происходящие в пласте необратимые
фазовые изменения. После разработки на режиме
растворённого газа никакой другой режим уже не будет
существенно эффективным, так как газ уже никаким
рентабельным методом вновь не растворить в нефти.
• Конечный коэффициент нефтеотдачи при разработке на
этом режиме достигает не более 12%, а чаще 6-7%.

12.

•Однако иногда эксплуатация залежей нефти при давлениях,
несколько ниже давления насыщения, приводит к
увеличению нефтеотдачи пласта. Указанный эффект авторы
объясняют тем, что на начальном этапе развития РРГ
выделившийся газ не обладает подвижностью, выполняет
только полезную работу по вытеснению нефти из пласта.
Этот факт подтвержден в условиях месторождения ЮжноАлександровское Белоруссии. Критическая насыщенность
газа, когда он становится подвижным, составляет 10-12,5%.
•При режиме растворенного газа запасы пластовой энергии
зависят от количества растворенного газа в единице объема
нефти, пластовая энергия по площади нефтеносности
распределена равномерно. В связи с этим при разработке
нефтяных месторождений в режиме растворенного газа
добывающие скважины целесообразно размещать по
равномерной сетке.