Линейная зависимость векторов

1.

Линейной комбинацией векторов a1 , a2 ...an
называется вектор b 1a1 2 a2 ... n an
где
1 , 2 ,..., n
- любые действительные
числа.

2.

Например, даны три вектора:
a1 (1;2;0) a2 (2;1;1) a3 ( 1;1; 2)
И числа
1 2 2 3 3 4
Линейной
вектор:
комбинацией
этих
векторов
будет
b (4;11; 5)
Говорят, что вектор b разлагается по векторам а.

3.

Векторы
a1 , a2 ...an
называются линейно зависимыми, если
существуют такие числа 1 , 2 ,..., n
не равные нулю одновременно, что
1a1 2 a2 ... n an 0
В
противном случае вектора
линейно независимыми.
называются

4.

Пусть система векторов a1 , a2 ...an
линейно зависима: 1a1 2 a2 ... n an 0
Выберем в этой сумме член с номером s и выразим
его через стальные слагаемые:
s as 1a1 2 a2 ... k ak
1 2
k
as a1 a2 ... ak
s
s
s
Т. об., один из векторов линейно зависимой системы
оказывается выраженным через другие вектора
этой системы.

5.

1
Система, состоящая из одного вектора,
линейно зависима.
2
Система, содержащая нулевой вектор, всегда
линейно зависима.

6.

3
Система, содержащая более одного вектора,
линейно зависима тогда и только тогда, когда
среди ее векторов содержится хотя бы один
вектор, который линейно выражается через
остальные вектора системы.

7.

Геометрический смысл линейной зависимости
векторов:
Если два вектора линейно
зависимы, то они
коллинеарны:
a1 a2
Если три вектора линейно зависимы, то они
компланарны.