Векторы, линейные операции

1.

Векторы.
Линейные операции над векторами.

2.

Определение. Вектором с началом в точке A и с
концом в точке B называется отрезок с выбранным
направлением, или направленный отрезок - AB .
Вектор, у которого начало совпадает с его концом,
называется нулевым вектором - 0 .
Длина
отрезка,
изображающего
вектор
называется модулем этого вектора - | a |.
Векторы a1 , a2 , , an параллельные одной прямой
называются коллинеарными.
a

3.

Определение. Пусть даны векторы а и b . Приложим начало а к концу b . Суммой
а + b двух векторов а и b называется вектор, начало которого совпадает с
началом вектора а , а конец - с концом вектора b .
Определение. Разностью а - b векторов а и b , выходящих из одной точки,
называется вектор, соединяющий конец вектора b с концом вектора а .
Определение. Произведением вектора a на число называется вектор а ,
удовлетворяющий трем условиям: 1) | а | =| || a |, 2) a | | a , 3) вектор а
одинаково направлен с вектором a ,
если >0, и направлен в
противоположную cторону, если <0.
Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:
1. 1 a a .
2. 0 a 0 .
3. а + b = b + а .
4.( а + b )+ c = а + ( b + c ).
5. ( а + b )= а + b .
6. ( a ) ( )a .
7.( ) a = а + a .
8. а : а =| а | a 0 .
9. Если b a , то b | | а . И обратно, если b | | а : b a .

4.

Определение.
Линейной
комбинацией
векторов
a1 , a 2 ,..., an
с
коэффициентами C1,C2,...,Cn называется вектор C1 a1 +C2 a 2 +...+Cn an .
Векторным пространством называется такое множество векторов, что
любая линейная комбинация векторов этого множества также ему
принадлежит.
Определение. Любой ненулевой вектор e на прямой называется базисным
вектором этой прямой. Любая пара неколлинеарных векторов { e1 , e 2 }
плоскости называется базисом этой плоскости. Любая тройка
некомпланарных векторов { e1 , e 2 , e3 } называется базисом пространства.

5.

Теорема о базисе. Любой вектор a (на прямой, плоскости или в
пространстве) единственным образом записывается в виде линейной
комбинации соответствующих базисных векторов. То есть,
1) на прямой: a =x e ,
2) на плоскости: a =x e1 +y e 2 ,
3) в пространстве: a =x e1 +y e 2 +z e3
Определение.
Коэффициенты
линейной
комбинации
базисных
векторов выражающих вектор a на прямой, в плоскости или в
пространстве называются координатами вектора a в данном
базисе.
Теорема. При сложении векторов их соответствующие координаты
складываются, при умножении вектора на число все его координаты
умножаются на это число.

6.

Пусть в пространстве имеется декартова система
координат OXYZ .
С ней связан стандартный базис из единичных
взаимно
перпендикулярных
векторов i , j , k ,
расположенных вдоль осей Ox, Oy, Oz.
Если (x,y,z) – координаты точки A в системе OXYZ ,
то вектор OA можно записать в виде
OA =x i +y j +z k .
Теорема. Пусть в декартовой системе координат
Oxyz заданы две точки A( x A , y A , z A ) и B( x A , y A , z A ) ,
тогда в базисе i , j , k вектор AB имеет координаты
xB x A , yB y A , z B z A .