Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов. Прямая на плоскости

1.

Векторы.
Линейные операции над векторами.
Скалярное, векторное, смешанное
произведения векторов.
Прямая на плоскости.

2. Векторы и линейные операции над ними.

Определение. Вектором с началом в точке A и с
концом в точке B называется отрезок с выбранным
направлением, или направленный отрезок - AB .
Вектор, у которого начало совпадает с его концом,
называется нулевым вектором - 0 .
Длина
отрезка,
изображающего
вектор
называется модулем этого вектора - | a |.
Векторы a1 , a2 , , an параллельные одной прямой
называются коллинеарными.
a

3.

Определение. Пусть даны векторы а и b . Приложим начало а к концу b . Суммой
а + b двух векторов а и b называется вектор, начало которого совпадает с
началом вектора а , а конец - с концом вектора b .
Определение. Разностью а - b векторов а и b , выходящих из одной точки,
называется вектор, соединяющий конец вектора b с концом вектора а .
Определение. Произведением вектора a на число называется вектор а ,
удовлетворяющий трем условиям: 1) | а | =| || a |, 2) a | | a , 3) вектор а
одинаково направлен с вектором a ,
если >0, и направлен в
противоположную cторону, если <0.
Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:
1. 1 a a .
2. 0 a 0 .
3. а + b = b + а .
4.( а + b )+ c = а + ( b + c ).
5. ( а + b )= а + b .
6. ( a ) ( )a .
7.( ) a = а + a .
8. а : а =| а | a 0 .
9. Если b a , то b | | а . И обратно, если b | | а : b a .

4. Базис и координаты вектора

Определение.
Линейной
комбинацией
векторов
a1 , a 2 ,..., an
с
коэффициентами C1,C2,...,Cn называется вектор C1 a1 +C2 a 2 +...+Cn an .
Векторным пространством называется такое множество векторов, что
любая линейная комбинация векторов этого множества также ему
принадлежит.
Определение. Любой ненулевой вектор e на прямой называется базисным
вектором этой прямой. Любая пара неколлинеарных векторов { e1 , e 2 }
плоскости называется базисом этой плоскости. Любая тройка
некомпланарных векторов { e1 , e 2 , e3 } называется базисом пространства.

5.

Теорема о базисе. Любой вектор a (на прямой, плоскости или в
пространстве) единственным образом записывается в виде линейной
комбинации соответствующих базисных векторов. То есть,
1) на прямой: a =x e ,
2) на плоскости: a =x e1 +y e 2 ,
3) в пространстве: a =x e1 +y e 2 +z e3
Определение.
Коэффициенты
линейной
комбинации
базисных
векторов выражающих вектор a на прямой, в плоскости или в
пространстве называются координатами вектора a в данном
базисе.
Теорема. При сложении векторов их соответствующие координаты
складываются, при умножении вектора на число все его координаты
умножаются на это число.

6.

Пусть в пространстве имеется декартова система
координат OXYZ .
С ней связан стандартный базис из единичных
взаимно
перпендикулярных
векторов i , j , k ,
расположенных вдоль осей Ox, Oy, Oz.
Если (x,y,z) – координаты точки A в системе OXYZ ,
то вектор OA можно записать в виде
OA =x i +y j +z k .
Теорема. Пусть в декартовой системе координат
Oxyz заданы две точки A( x A , y A , z A ) и B( x A , y A , z A ) ,
тогда в базисе i , j , k вектор AB имеет координаты
xB x A , yB y A , z B z A .

7. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Определение. Скалярным
произведением
векторов a и b
называется число, равное
произведению модулей этих векторов на косинус угла
между ними, т. е.
a b a b cos(a, b ) .
Для любых векторов справедливы следующие
свойства.
1) ab b a .
2
2) a a a , т. к. cos(a, a ) cos 0 1 .
3) Скалярное произведение ненулевых векторов a и b
равно 0 только в том случае, когда эти векторы
ортогональны (перпендикулярны).

8.

Проекцией вектора a на ненулевой вектор b
(обозначение прb a ) называется его проекция на ось l,
проведенную через вектор b .

9.

4) a b a прa b b прb a .
5) Для любого вектора a с координатами ( x, y, z ) в
базисе {i , j , k } верно:
x a i , y aj , z ak .
6) ( a ) b (a b ) ; λ – любое число.
7) (a b ) c ac b c .
Теорема. Пусть в базисе {i , j , k } вектор a имеет
координаты ( x1 , y1 , z1 ) , а вектор b – ( x2 , y 2 , z 2 ) . Тогда
a b x1 x2 y1 y2 z1 z 2 .

10.

Из этой теоремы вытекают следствия:
1. Длина вектора a =(x, y, z) равна | a | =
x2 y2 z2 .
2. Косинус угла между векторами a =(x1, y1, z1) и b =(x2, y2, z2)
определяется по формуле:
cos
x1 x 2 y1 y 2 z1 z 2
x12 y12 z12 x 22 y 22 z 22
.
3. Условие перпендикулярности векторов a =(x1, y1, z1) и
b =(x2, y2, z2):
a b x1x2+y1y2+z1z2=0.
4. Проекция вектора a =(x1, y1, z1) на вектор b =(x2, y2, z2)
равна
пр b a =
x1 x 2 y1 y 2 z1 z 2
x 22 y 22 z 22
.

11. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Определение.
Векторным
произведением
векторов a и b называется вектор c a b ,
удовлетворяющий трём условиям:
а) c a b sin( a , b )
в) c перпендикулярен векторам a и b т. е. он
перпендикулярен плоскости, проходящей через векторы
a и b.
с) Тройка векторов a, b , c правая, т.е. при взгляде
со стороны конца третьего вектора кратчайший
поворот от первого ко второму происходит против
часовой стрелки.

12. СВОЙСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Для любых векторов справедливы следующие
свойства.
1 . Векторное произведение
антикоммутативно:
b a a b .
a и b коллинеарны только
2 . Ненулевые векторы
в том случае когда a b 0 .
3 . ( a ) b (a b ) , - число.
4 . (a1 a 2 ) b a1 b a 2 b .
Теорема. Пусть в базисе {i , j , k } векторы a и b
( x1 , y1 , z1 )
( x2 , y 2 , z 2 )
имеют
координаты
и
соответственно. Тогда в этом базисе
i j k
a b (( y1 z 2 z1 y 2 ), ( x1 z 2 z1 x 2 ), ( x1 y 2 y1 x 2 )) x1 y1 z1 .
x2 y 2 z 2

13.

Следствие 1. Площадь параллелограмма построенного на
векторах a ( x1 , y1 , z1 ) и b ( x 2 , y 2 , z 2 ) , равна
S пар a b ( y1 z 2 z1 y 2 ) 2 ( x1 z 2 z1 x2 ) 2 ( x1 y 2 y1 x2 ) 2 .
Площадь треугольника, построенного на этих векторах,
равна:
1 1
S mp a b
( y1 z 2 z1 y 2 ) 2 ( x1 z 2 z1 x2 ) 2 ( x1 y 2 y1 x2 ) 2 .
2
2
Следствие 2. Площадь параллелограмма построенного на
векторах a ( x1 , y1 ) и b ( x 2 , y 2 ) , лежащих в плоскости Oxy ,
равна
S пар x1 y 2 y1 x2 .
Площадь треугольника построенного на этих векторах,
равна
1
S т р x1 y2 y1 x2 .
2

14. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Определение. Смешанным произведением трех векторов
a , b и с называется число, равное скалярному произведению
векторного произведения векторов a и b с вектором с : (
a b с (a b )c ).
1. Теорема. Смешанное произведение векторов a , b и с
равно объему параллелепипеда, построенного на этих
векторах:
a b с Vпар.
Здесь знак “+” берется, в случае если тройка векторов
a , b , с правая “ ” если она левая.
.

15.

Теорема. Смешанное произведение векторов a = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2) и c = (x3, y3,
z3), заданных своими декартовыми координатами, вычисляется по формуле:
x1 y1 z1
a b c x2 y 2 z 2 .
x3 y 3 z 3
Следствие 1.
Объём параллелепипеда, построенного на векторах a ( x1 , y1 , z1 ) ,
b ( x 2 , y 2 , z 2 ) и c ( x3 , y 3 , z 3 ) , равен:
x1
y1
z1
Vпар=| a b c | = | x 2
x3
y2
z 2 |.
z3
y3
Объём треугольной пирамиды (тетраэдра), построенной на этих же векторах,
равен:
x1 y1 z1
1
Vпир= | x 2 y 2 z 2 |.
6
x3 y 3 z 3
Следствие 2. Если a ( x1 , y1 , z1 ) , b ( x2 , y 2 , z 2 ) и c ( x3 , y3 , z 3 ) , то:
x1 y1 z1
векторы a , b , c - компланарны x 2 y 2 z 2 =0.
x3 y 3 z 3

16. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

Уравнение вида Ax+By+C=0 называется общим уравнением прямой.
x
a
y
b
Уравнение вида 1 называется уравнением прямой в “отрезках”.
Уравнение прямой, проходящей через две точки M1(x1,y1) и M2(x2,y2) записывается в
виде:
x x1 y y1
.
x2 x1 y 2 y1
Уравнение прямой с угловым коэффициентом записывается в виде: y kx b .
Здесь k tg - тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым
коэффициентом прямой
Уравнение прямой, проходящей через данную точку M0(x0,y0) с данным угловым
коэффициентом:
y y 0 k ( x x0 ) .
Расстояние от точки М0(х0,у0) до прямой L : Ax By C 0 определяется по
формуле:
d
Ax0 By0 C
A B
2
2
.

17. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Тангенс угла между двумя прямыми L1 : y k1 x b1 и L2 : y k 2 x b2 :
k k2
.
tg 1
1 k1k 2
Условие параллельности прямых L1 : y k1 x b1 и L2 : y k 2 x b2 :
L1||L2
k1=k2.
Условие перпендикулярности прямых L1 : y k1 x b1 и L2 : y k 2 x b2 :
k1 k2= 1.
Косинус угла
между прямыми L1 : A1x B1 y C1 0 и L2 : A2 x B2 y C 2 0 :
cos
A1 A2 B1B2
A1 B1
2
2
A2 B2
2
2
.
Условие параллельности прямых L1 : A1x B1 y C1 0 и L2 : A2 x B2 y C 2 0 :
A1 A2 B1B2 0 .
A1
B
1 .
Эти прямые параллельны только в том случае, когда
A2 B2