Вычисление первообразных функции

1. Вычисление первообразных функции

2. Обозначение

f(x) -функция
F(x) – первообразная функции

3.

Определение. Функция F x называется
первообразной функции f x , определенной на
некотором промежутке, если F x f x для
каждого x из этого промежутка.
Например, функция cos x является
первообразной функции sin x , так как
cos x sin x .

4.

Теорема: Если F(x)– первообразная
для функции f(x) на некотором
промежутке, то функция F(x)+C
также является первообразной
функции f(x) на этом промежутке,
где C –произвольная постоянная.

5. Таблица первообразных

№
Функция f(х)
Первообразная F(х)
1
к (где к – число)
к∙х+С
2
хр
3
1
(х>0)
х
(р≠-1)
х р 1
С
р 1
lnx +C
ех
ех+С
5
sinx
-cosx+C
6
cosx
sinx+C
7
ах
8
1
cos 2 x
ах
С
ln а
9
1
sin 2 x
4
tgx C
ctgx C

6. Правила нахождения первообразных

1) Если F(х) первообразная для функции f(х) , а G(х) – первообразная для функции g(х)
, то F(х)+ G(х) первообразная для f(х) +g(х);
2) Если F(х) первообразная для функции f(х) и к- постоянная, то к∙F(х) первообразная
для к∙f(х);
1
3) Если F(х) первообразная для функции f(х) и к,b – постоянные, причём к≠0, то
к
∙F(кх+b)- первообразная для f(кх+b).

7. Пример 1: Вычислить первообразную f(х)=14х6

6 1
х
14 х
7
F(х)=14
С
С 2х С
6 1
7
7
p 1
x
C
f ( x) x p , p 0 F ( x )
p 1

8. Пример 2: Вычислить первообразную f(х)=х4-3х2+6х+7

х 4 1
х 2 1
х1 1 7 х 0 1
х5
х3
х 2 7 х1
F ( х)
3
6
С 3 6
С
4 1
2 1
1 1 0 1
5
3
2
1
х5
х 3 3х 2 7 х С
5
p 1
x
C
f ( x) x p , p 0 F ( x )
p 1

9. Пример 3: Вычислить первообразную f(х)=17cos(12x-3)

1
17
F ( x) 17 sin( 12 x 3) C sin( 12 x 3) C
12
12
f (kx b)
f ( x) cos x
1
F (kx b)
k
F ( x) sin x C

10. Пример 4: Вычислить первообразную

f(х)=
34
-10
=34х
х 10
х 10 1
34 х 9
34
F ( х) 34
С
С 9 С
10 1
9
9х
p 1
x
C
f ( x) x p , p 0 F ( x )
p 1

11. Пример 5: Вычислить первообразную

1
2
f(х)= 6 х 204 х 3 6 х 21х
1
1
2
3
1
4
3
2
3
4
7
4
х
х
6х
х
F ( х) 6
21
С
21
С
1
3
3
7
1
1
2
4
2
4
3
2
7
4
2 6х
4 21х
С 4 х 2 12 х 4 С
3
7
f ( x) x p , p 0
3
7
x p 1
F ( x)
C
p 1

12. Задание 1:Найдите первообразные для функций:

f ( x) 2 x 0,3;
3
f ( x) 5 sin( 4 х 42);
f ( x) 5x 2 x 0,11;
2
f ( x) 2 cos x 5.

13. Пример 6: Для функции   найдите ту первообразную, график которой проходит через точку М(3;4) .

2
f
(
x
)
х
2х 3
Пример 6: Для функции
найдите ту первообразную, график которой проходит
через точку М(3;4) .
Решение:

14. Задание 2 :

а) Для функции
найдите ту первообразную, график которой
проходит через точку
б) Для функции
.
найдите ту первообразную, график которой
проходит через точку
.