Производная обратной функции

1.

Пусть y=f(x) – дифференцируемая и монотонная
функция на промежутке Х.
Если переменную y рассматривать как аргумент,
а переменную x как функцию, то функция x=φ(y)
является
обратной
функцией
к
данной,
непрерывной на соответствующем промежутке Y.

2.

ТЕОРЕМА
Для дифференцируемой функции с
производной, не равной нулю,
производная обратной функции равна
обратной величине производной
исходной функции:
1
x y
y x

3.

По условию функция y=f(x) дифференцируема и
y ( x) f ( x) 0
Пусть Δy - приращение независимой переменной
y, не равное 0.
Δх – соответствующее приращение обратной
функции x=φ(y), также неравное 0.
Тогда
x
1
y y
x
Переходим в этом равенстве к пределу при y 0

4.

Учитываем, что в силу непрерывности обратной
функции x 0
x
1
lim
y 0
y lim y
x 0
x
x y
y x
1
x y
y x

5.

Эта формула имеет простой геометрический смысл.
Если
y x
есть тангенс угла наклона касательной к кривой
y=f(x) к оси абсцисс, то
x y
есть тангенс угла наклона той же касательной к
оси ординат.

6.

y f (x)
y
x

7.

Причем
2
3
2
1
tg
tg
если α и β – острые углы
если α и β – тупые углы
1
tg
tg