Тригонометрические уравнения

1. Тригонометрические уравнения

sin x=a,cos x=a,tg x=a,ctg x=a
http://aida.ucoz.ru

2. Девиз : « Не делай никогда того, чего не знаешь , но научись всему, что следует знать» Пифагор

3. С помощью тригонометрической окружности найти все значения из промежутка [-2π; 2π] для следующих выражений

arcsin 0,
arcsin

4. Верно ли равенство

1
а ) arccos ;
2 3
3 11
г ) arcsin
;
2
6
2
б ) arcsin(
) ;
2
4
2
3
д) arccos(
)
.
2
4
3
в ) arccos(
) ;
2
6
е)arctg 3
3
.

5. Имеет ли смысл выражение:

6.

7.

8. Определение.

• Уравнения вида f(x) = а, где а – данное
число, а f(x) – одна из тригонометрических
функций,
называются
простейшими
тригонометрическими уравнениями.

9. Решение простейших тригонометрических уравнений.

10.

Чтобы успешно решать простейшие
тригонометрические уравнения нужно
1) уметь отмечать точки на числовой
окружности;
2) уметь определять значения синуса, косинуса,
тангенса и котангенса для точек числовой
окружности;
3) знать свойства основных
тригонометрических функций;
4) знать понятие арксинуса, арккосинуса,
арктангенса, арккотангенса и уметь отмечать их
на числовой окружности.
06.11.2021
10

11. 1. Найти координаты точки М, лежащей на единичной окружности и соответствующей числу

3
3
2
3
2
1
2
3

12. 2. Дана точка М с абсциссой ½. Найдите ординату этой точки; укажите три угла поворота, в результате которых начальная точка

(1;0) переходит в точку М
М
3
2
7
2
3
3
3
1
2
5
2
3
3

13. 3. Дана точка М с абсциссой -½. Найдите ординату этой точки; укажите три угла поворота, в результате которых начальная точка

(1;0) переходит в точку М
М
3
2
1
2
2
3
2
8
2
3
3
2
26
8
3
3

14. Решите уравнение

2
cos x
2
4
х
2
2
4
х
4
2 п, п Z
4
2 п, п Z

15. Решите уравнение

5
6
3
2
5
6
3
cos x
2
5
х
2 п, п Z
6
5
х
2 п, п Z
6

16.

Арккосинусом числа а
называют такое число
из промежутка
[0;π ], косинус
у
π-arccos
a
1
arccos
а
которого равен а
х
π
-а
0
а
-1
arccos (-a)= π -arccos a
0

17.

y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos х = a.
1)
1
а 1
1
1
x
Нет точек пересечения с
окружностью.
Уравнение не имеет решений.
1

18.

y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos х = a.
2)
1
а 1
1
0
cos х = 1
х = 2πk
1
0
cos х = -1
х = π+2πk
к Z
1
Частные
решения
x

19.

y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos х = a.
3) а
x
=0
2
1 2
1
0
1
x
n n Z
2
Частное
решение

20.

Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos х = a.
4)
y
1
а 1
arccos а
Корни, симметричные
относительно Оx
1
могут быть записаны:
а
x
arccos a 2 k
х
arccos a 2 k
или
х = ± arccos a+2πk
1
-arccos а
1
Общее решение

21. Уравнение cos х = a называется простейшим тригонометрическим уравнением

Решается с помощью единичной окружности
х
1. Проверить условие | a | ≤ 1
y
1
a
0
-1
1
x
2. Отметить точку а на оси
абсцисс (линии косинусов)
3. Провести перпендикуляр
из этой точки к окружности
4. Отметить точки
пересечения перпендикуляра
с окружностью.
5. Полученные числа–
решения уравнения cosх = a.
6. Записать общее решение
уравнения.
-х1
х х1 2 n
n Z

22. Уравнение cos x = a

x
Уравнение cos x = a
a) при -1< x < 1 имеет две серии корней
x1 = arсcos a + 2πk, k ϵ Z
x 2 = - arсcos a + 2πm, m ϵ Z.
Эти серии можно записать так
x = ± arсcos a + 2πn, n ϵ Z ;
• б) при а = 1 имеет одну серию решений
x = 2πn, n ϵ Z ;
• в) при а = -1 имеет одну серию решений
x = π + 2πn, n ϵ Z ;
• г) при а = 0 имеет две серии корней
x1 =
+ 2πk, k ϵ Z
x 2 = - + 2πm, m ϵ Z. Обе серии можно записать в одну серию
x=
+ πn, n ϵ Z.
д) при а > 1 и a < -1 уравнение не имеет корней.

23. Решите уравнение

1) cos х =
1
2
2) cos х = -
1
2

24. Решите уравнение

3) cos 4x = 1
4x = 2πn, n ϵ Z
4)

25. Решите уравнение

.
Решите уравнение
5)

26. Уравнение sin x = a

Уравнение
a)
sin x = a
при -1< x < 1 имеет две серии корней
x1 = arсsin a + 2πn, n ϵ Z
x 2 = π - arсsin a + 2πn, n ϵ Z.
Эти серии можно записать так
x = ( -1)k arсsin a + πk, k ϵ Z ;
б) при а = 1 имеет одну серию решений
x=
+ 2πn, n ϵ Z
в) при а = -1 имеет одну серию решений
x= + 2πn, n ϵ Z;
г) при а = 0 имеет две серии корней
x1 = 2πk, k ϵ Z,
x2 = π + 2πm, m ϵ Z.
Обе серии можно записать в одну серию
x = πn, n ϵ Z ;
д) при а > 1 и a < -1 уравнение не имеет корней.

27. Решите уравнение

,,
1) sin х =
x = ( -1)k
+ πk,
kϵ Z.

28. Решите уравнение

(;
Решите
,,;
2) sin х = -
x = ( -1)k ( -
уравнение
2
2
+ πk, k ϵ Z
x = ( -1)k+1
+ πk, k ϵ Z

29. Задание 2. Найти корни уравнения:  

Задание 2. Найти корни уравнения:
1) a) sin x =1 б) sin x = - 1 в) sin x = 0
г) sin x = 0,5
2) а)
б)
в)
г)

30. Уравнение tg x = a

при любом а ϵ R имеет одну серию решений
х = аrctg a + πn, nϵ Z.

31. Решите уравнение

Решите
1) tg x =
х = аrctg
x=
уравнение
2) tg x = -
+ πn, nϵ Z.
+ πn, nϵ Z.
х = аrctg(x=-
) + πn, nϵ Z,
+ πn, nϵ Z.

32. Уравнение ctg x = a

при любом а ϵ R имеет одну серию решений
х = аrcctg a + πn, nϵ Z.

33. Решите уравнение

Решите
1) ctg x = 1
уравнение
2)
ctg x = - 1
х = аrcctg 1 + πn, nϵ Z,
х = аrcctg ( -1) + πn, nϵ Z
х=
х = π - аrcctg 1 + πn, nϵ Z
+ πn, nϵ Z.
х=
+ πn, nϵ Z.

34. Подводим итоги

Значение а
cos x = a
sin x = a
tg x = a
ctg x = a
|a|>1
Ø
Ø
x=arctg a +πn
x=arcctg a +πn
|a|<1
x=±arccos a+2πn
x=(-1)ⁿarcsin a+πn
x=arctg a +πn
x=arcctg a +πn
a=1
x=2πn
x=π/2+2πn
x=π/4+πn
x=π/4+πn
a = -1
x=π+2πn
x=-π/2+2πn
x=-π/4+πn
x=3π/4+πn
a=0
x=π/2+πn
x=πn
x=πn
x=π/2+πn