Тригонометрические уравнения

1. Тригонометрические уравнения

sin x=a
cos x=a
http://aida.ucoz.ru

2. Определение.

Уравнения вида
f(x)
f(x) = а, где а – данное
число, а
– одна из тригонометрических
функций,
называются
простейшими
тригонометрическими уравнениями.

3. Решение простейших тригонометрических уравнений.

4.

Чтобы успешно решать простейшие
тригонометрические уравнения нужно
1) уметь отмечать точки на числовой
окружности;
2) уметь определять значения синуса, косинуса,
тангенса и котангенса для точек числовой
окружности;
3) знать свойства основных
тригонометрических функций;
4) знать понятие арксинуса, арккосинуса,
арктангенса, арккотангенса и уметь отмечать их
на числовой окружности.
06.04.2020
4

5.

y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos х = a.
1)
1
а 1
1
1
x
Нет точек пересечения с
окружностью.
Уравнение не имеет решений.
1

6.

y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos х = a.
2)
1
а 1
1
0
cos х = 1
х = 2πk
1
0
cos х = -1
х = π+2πk
к Z
1
Частные
решения
x

7.

y
Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos х = a.
3) а
x
=0
2
1 2
1
0
1
x
n n Z
2
Частное
решение

8.

Решим при помощи
числовой окружности
уравнение cos х = a.
4)
y
1
а 1
arccos а
Корни, симметричные
относительно Оx
1
могут быть записаны:
а
x
arccos a 2 k
х
arccos a 2 k
или
х = ± arccos a+2πk
1
-arccos а
1
Общее решение

9. Уравнение cos х = a называется простейшим тригонометрическим уравнением

Решается с помощью единичной окружности
х
1. Проверить условие | a | ≤ 1
y
1
a
0
-1
1
x
2. Отметить точку а на оси
абсцисс (линии косинусов)
3. Провести перпендикуляр
из этой точки к окружности
4. Отметить точки
пересечения перпендикуляра
с окружностью.
5. Полученные числа–
решения уравнения cosх = a.
6. Записать общее решение
уравнения.
-х1
х х1 2 n
n Z

10. Решите уравнение

5
6
3
2
5
6
3
cos x
2
5
х
2 п, п Z
6
5
х
2 п, п Z
6

11. Решите уравнение

2
cos x
2
4
х
2
2
4
х
4
2 п, п Z
4
2 п, п Z

12.

Выписать в тетрадь

13. Уравнение cos t = a

a)
при -1< t < 1 имеет две серии корней
t1 = arсcos a + 2πk, k ϵ Z
t 2 = - arсcos a + 2πm, m ϵ Z.
Эти серии можно записать так
t = ± arсcos a + 2πn, n ϵ Z ;
Частные случаи:
б)
при а = 1 имеет одну серию решений
t = 2πn, n ϵ Z ;
в) при а = -1 имеет одну серию решений
t = π + 2πn, n ϵ Z ;
г) при а = 0 имеет две серии корней
t1 =
+ 2πk, k ϵ Z
t 2= -
+ 2πm, m ϵ Z. Обе серии можно записать в одну серию
t=
д)
+ πn, n ϵ Z.
при а > 1 и a < -1 уравнение не имеет корней.

14. Уравнение sin t = a

Уравнение
a)
sin t = a
при -1< t < 1 имеет две серии корней
t1 = arсsin a + 2πn, n ϵ Z
t 2 = π - arсsin a + 2πn, n ϵ Z.
Эти серии можно записать так
t = ( -1)k arсsin a + πk, k ϵ Z ;
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ
б) при а = 1 имеет одну серию решений
t=
в) при а = -1 имеет одну серию решений
t = -
+ 2πn, n ϵ Z
+ 2πn, n ϵ Z;
г) при а = 0 имеет две серии корней
t1 = 2πk, k ϵ Z,
t2 = π + 2πm, m ϵ Z.
Обе серии можно записать в одну серию
t = πn, n ϵ Z ;
д)
при а > 1 и a < -1 уравнение не имеет корней.

15. Решите уравнение

,,
Решите уравнение
1)
sin х =

16. Решите уравнение

(;
,,;
Решите
уравнение
2) sin х = 22
x = ( -1)k+1