Случайные величины. Тема 3. Часть 2

1.

ТЕМА 3 ЧАСТЬ 2
СЛУЧАЙНЫЕ
ВЕЛИЧИНЫ
Некоторые законы распределения дискретных случайных величин:
биноминальное, геометрическое, Пуассона и т.д. Некоторые законы
распределения непрерывных случайных величин: нормальное,
равномерное, экспоненциальное, логарифмически нормальное и т.д.
Многомерный нормальный закон распределения случайного вектора.
1

2.

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СВ
БИНОМИАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Число успехов в n испытаниях Бернулли с вероятностью успеха p имеет
биномиальное распределение с параметрами (p, n):
pБин ( x | p, n) Cnx p x q n x , x 0, 1, 2,…, n, 0 p 1 , q 1 p .
Ряд распределения ДСВ , имеющей биномиальное распределение, имеет
вид:
0
1
2
m
n
x
1 1 n 1
2 2 n 2
m m n m
n
Cn p q
Cn p q
pn
p x
q Cn p q
Функция распределения СВ , распределенной по биномиальному закону,
имеет вид:
0, при x 0;
F ( x) C nm p m q n m , при 0 x n;
m x
1, при x n.
Биномиальное распределение используется в теории и практике
статистического
контроля
качества
продукции,
при
описании
функционирования систем массового обслуживания, в теории стрельбы и др.
2

3.

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СВ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПАСКАЛЯ
Число испытаний в схеме Бернулли с вероятностью успеха p в
одном испытании до достижения k успехов имеет распределение Паскаля с
параметрами (p, k):
pПаск ( x | p, k ) C xk 11 p k q x k , x k, k+1, k+2,… .
Если в последовательности испытаний Бернулли k-ый успех
происходит при x-ом испытании, то это означает, в первых x-1 испытаниях
произошло k-1 успехов с вероятностью C xk 11 p k 1q x k , и последнее x-ое
испытание закончилось успешно с вероятностью p. В силу независимости
этих событий pПаск ( x | p, k ) P x C xk 11 p k 1q x k p C xk 11 p k q x k .
3

4.

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СВ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
При k=1 получаем геометрическое распределение для числа испытаний
до первого успешного испытания включительно:
pГеом ( x | p) pПаск ( x | p,1) pq x 1 , x 1, 2, 3,… .
Ряд распределения ДСВ , имеющей геометрическое распределение,
имеет вид:
1
2
3
m
x
p
pq
p x
pq m 1
pq 2
1
p
x 1
Контроль: pq p q x 1 p
1.
1 q p
x 1
x 1
Вероятности образуют геометрическую прогрессию. По этой причине
распределение и называют геометрическим.
Найдем функцию распределения при возможных значениях ДСВ :
x 1
1 q x 2 1
i 1
2
x 2
FГеом ( x | p) P x pq p 1 q q ... q p
1 q x 1 ,
1 q
i 1
x=1, 2,….
4

5.

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СВ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА
СВ имеет распределение Пуассона с параметром 0 , если
x
P x p Пуас ( x | ) e , x 0,1,2,... .
x!
Ряд распределения ДСВ , имеющей распределение Пуассона, имеет
вид:
x
p x
0
e
1
e
2
e
2!
2
m
e
m!
m
Неотрицательность этого распределения очевидна, проверим свойство
нормированности:
pПуас ( x | )
x
e e e 1 .
x!
У этого распределения есть второе название – закон редких событий.
Примерами случайных величин, имеющих распределение Пуассона,
являются: число вызовов на телефонной станции за время t; число опечаток в
большом тексте; число бракованных деталей в большой партии; число
метеоритов, упавших в определенном районе.
x 0
x 0
5

6.

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СВ
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
ДСВ имеет гипергеометрическое распределение, если она
принимает значения 0, 1, 2,…, m,…,min(n,M) с вероятностями
CMm C Nn mM
,
P m
n
CN
Где M N ; m n ; n, M, N – натуральные числа.
Гипергеометрическое распределение возникает в случаях, подобных
следующем: в урне N шаров, из них М белых, а остальные черные. Из неё
вынимается n шаров. Тогда СВ - число белых шаров среди извлеченных из
урны имеет гипергеометрическое распределение.
Данное распределение используется при решении задач, связанных с
контролем качества продукции и других.
6

7.

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СВ
ПОЛИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Полиномиальное распределение с параметрами p1 , p 2 ,…, p k , n
относится к основным многомерным распределениям ДСВ:
n!
p 1 2 ... k ( x1 , x2 ,..., xk )
p1x1 p2x2 ... pkxk ,
x1! x2 !...x2 !
p1 + p 2 +…+ p k =1,
x1 x2 ... xk n ,
где
0< p1 , p 2 ,…, p k <1,
x1 , x2 ,..., xk 0 - целые числа.
Это распределение связано со схемой так называемых обобщенных
испытаний Бернулли, которая характеризуется тем, что каждое испытание
завершается одним из k 2 исходов A1 , A2 ,..., Ak с вероятностями pi P( Ai ) ,
i 1,2,...,k . Смысл компоненты i в рассмотренном распределении – число
испытаний, в которых произошло событие Ai .
7

8.

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СВ
РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
СВ распределена равномерно на
распределения P x имеет вид:
a, b , если ее плотность
C, x a, b
P x f x
0, x a, b
,
а ее функция распределения вид:
x a;
0,
по опр. НСВ
x a
F x
, a x b;
b
a
x b.
1,
8

9.

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СВ
РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Найдем вероятность попадания ВС в
принадлежащий целиком интервалу a, b :
1
P ( , )
dx
.
b a
b a
Аналогичный результат можно было получить
распределения.
К СВ, имеющим равномерное распределение,
ожидания пассажиром транспорта, курсирующего
интервалом; ошибка округления числа до целого
распределена на отрезке [-0,5;0,5].
интервал
, ,
и через функцию
относятся: время
с определенным
(она равномерно
9

10.

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СВ
РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
СВ распределена равномерно на интервале 2,4 . Записать плотность
распределения и функцию распределения:
1
, x 2,4
P x f x 2
,
0, x 2,4
x 2
0,
по опр .НСВ x 2
, 2 x 4
F x
2
1,
x 4
Вероятности попадания этой СВ в заданные промежутки находятся как:
P 3 1 F 1 F 3 0 0 0
3 2
1
0
2
2
3,5 2 2,5 2 1
P 2,5 3,5 F 3,5 F 2,5
2
2
2
P 1 3 F 3 F 1
10

11.

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СВ
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ (ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ)
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
СВ называется распределенной по
экспоненциальному закону, если
x
P x f x e , x 0 , при этом параметр 0
x 0
0,
Функция распределения:
0,
F x
x
1 e ,
x 0;
x 0.
11

12.

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СВ
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ (ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ)
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Найдем вероятность попадания ВС в интервал , , , 0 :
P F ( ) F ( ) (1 e ) (1 e ) e e .
Аналогичный результат можно было получить и через плотность
распределения.
Экспоненциальное распределение используется в приложениях ТВ,
особенно в ТМО, в физике, в теории надежности. Оно используется для
описания распределения СВ вида: длительность работы прибора до первого
отказа, длительность времени обслуживания в СМО и т.д.
Важность экспоненциального ЗР в приложениях связана с его
свойством «отсутствие памяти» («отсутствие последействия»).
12

13.

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СВ
НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
НСВ называется распределенной нормально с параметрами m и
, если
P x f x
1
e
2
x m 2
2 2
, x ;
Сокращенно: N (m, ) .
13

14.

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СВ
НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Функция распределения нормально распределенной СВ:
x
F x p x dt
x
1
e
2
t m 2
2 2
dt .
Этот интеграл нельзя представить в виде конечной комбинации
элементарных функций, он «неберущийся». Функция распределения зависит
не только от х, но также от m и , поэтому чтобы ей пользоваться, нужно
уметь вычислять ее значения для m, , x . Это оказалось неудобно, и такие
значения были вычислены только для одного набора m 0; 1 .
14

15.

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СВ
СТАНДАРТНЫЙ НОРМАЛЬНЫЙ
ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
СВ называется стандартной нормальной СВ, если
P x f x
1
e
2
x2
2
, x ; .
Функция плотности
называется функцией Гаусса
стандартного
нормального
распределения
Функция распределения стандартной нормальной СВ обозначается
2
x
1 t2
F x x
e dt и называется функцией Лапласа.
0
2
Замечание
В некоторых учебниках затабулирована не функция x , а функция
0 x
t2
1
22
e
dt , при этом
2
0 x 0.5 x .
x
15

16.

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СВ
НОРМАЛЬНЫЙ
ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Для нормально распределенной СВ вероятность
промежуток a, b может быть вычислена с помощью x :
P a b p x dx
b
a
1
e
2 a
b
x m 2
2 2
попадания
b m
a m
dx
.
Пример
Пусть ~ N 2,4 . Нас интересует вероятность P 1 6 .
Через функцию x получаем:
6 2
1 2
3
P 1 6
1
4
4
4
0,341 0,273 0,614 .
16
в

17.

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СВ
НОРМАЛЬНЫЙ
ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Правило трех сигм
Пусть СВ ~ N m, . Найдем
m 3 m
m 3 m
P m 3 P m 3 m 3
3 3 2 3 0,997
Таким образом, практически достоверно, что СВ ~ N m, принимает свои
значения в промежутке m 3 ; m 3
17

18.

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СВ
ЛОГАРИФМИЧЕСКИ НОРМАЛЬНЫЙ
ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
НСВ называется распределенной логарифмически нормально с
параметрами m и 2 , если
1
PLN x | m, 2
x 2
ln x m 2
2 2
e
, x 0, m R , 2 0 .
Функция распределения вероятностей логнормальной СВ:
ln t m 2
u ln t
1
e
u
u
t e , dt e du 2
ln x m
FN ln x | m, 2 1
, x 0
То есть СВ ln LN m, 2 ~ N m, 2 .
x
1
e
0 t 2
FLN x | m, 2
2 2
x
dt
u m 2
2 2
du
18

19.

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СВ
МНОГОМЕРНЫЙ НОРМАЛЬНЫЙ
ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Случайная величина ( 1 , 2 ,..., n ) называется распределенной по n мерному нормальному закону, если ее совместная плотность имеет вид:
р ( x 1 , x 2 ,..., x n )
2
1
n/2
e
1
2
n n
1 ( xi ai )( x j a j )
i 1j 1
, где
ai - математическое ожидание одномерной составляющей X i (i 1,2,..., n) ;
- определитель ковариационной матрицы случайной величины
( 1 , 2 ,..., n ) ;
1 - элементы матрицы, обратной по отношению к ковариационной
матрице.
19

20.

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СВ
ДВУМЕРНЫЙ НОРМАЛЬНЫЙ
ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Случайная величина ( , ) называется распределенной по нормальному
закону, если ее совместная плотность имеет вид:
р ( x, y)
1
e
( x a ) 2 ( y a y ) 2
x a x y a y
x
2 xy
x y
2
2 (1 2
2
xy ) x
y
1
2 x y 1 xy
Таким образом, нормальный закон на плоскости определяется 5
параметрами: a x , a y , x , y , где a x , a y – математические ожидания, x , y –
средние квадратические отклонения, – коэффициент корреляции.
2
20