Вычисление производных

1.

Вычисление
производных

2.

Вопросы для повторения
• Приращение аргумента. Приращение
функции. Геометрическая
иллюстрация.
• Секущая, её угловой коэффициент.
• Касательная. Угловой коэффициент
касательной.
• Определение производной функции в
точке.
• Как называют операцию нахождения
производной?

3.

Геометрический смысл производной
Для функции y = f (x) ее производная y' = f '(x0)
в точке x0 равна угловому коэффициенту
(тангенсу угла наклона) касательной,
проведенной к графику функции в точке x0.
ксек
f
lim
f x0
x 0 x
tg
ксек
f x0 tg

4.

На рисунке изображен график
функции у=f(x). Найдите производную
функции в точке х0.
6
f x0 tg 1
6

5.

На рисунке изображен график
функции у=f(x). Найдите
производную функции в точке х0.
2
f x0 tg 2
1

6.

На рисунке изображен график
функции у=f(x). Найдите
производную функции в точке х0.
3
f x0 tg 0,5
6

7.

На рисунке изображен график
функции у=f(x). Найдите
производную функции в точке х0.
f x0 tg 180 tg
4
tg 1
4
f x0 1
o

8.

На рисунке изображен график
функции у=f(x). Найдите
производную функции в точке х0.
f x0 tg 180 o tg
3 1
tg
6 2
1
f x0
2

9.

На рисунке изображен график
функции у=f(x). Найдите
производную функции в точке х0.

10.

На рисунке изображен график
функции у=f(x). Найдите
производную функции в точке х0.

11.

На рисунке изображен график
функции у=f(x). Найдите
производную функции в точке х0.

12.

Ответы
• 1. 2
• 2. 2
• 3. -0,5

13.

Определение производной
f x0 x f x
f
f ( x0 ) lim
lim
x 0 x
x 0
x
Найти производные по определению:
1). f x 3x 4;
2). f x x ;
2
1
3). f x ;
х
4). f x x

14.

Определение производной
f x 3 x 4;
Решение :
1. f f x f x0
f x0 3 x0 4
f 3x 4 3 x0 4 3 x 4 3x0 4
3 x 3 x0 3 x x0 3 x
f
3 x
2. f ( x0 ) lim
lim
3.
x 0 x
x 0 x
3x 4 3

15.

Определение производной
f x x ;
2
Решение :
1. f f x f x0
f x0 x0
2
f x x0 x x0 x x0
2
2
x x x0 x x0 x x0 x 2 x0 x
x 2 x0 x
f
2. f ( x0 ) lim
lim
2 x0
x 0 x
x 0
x
2
x 2x

16.

Определение производной
f x х
Решение :
1. f f x f x0
f x0 x0
f x x0
2
x x0
x x0
2
x x0
x 2
1
x
x x0
x x0
x x0
x x0
f
2. f ( x0 ) lim
lim
x 0 x
x 0
x
x0 x x0
x
1
x0 x x0 x 2 x0

17.

f x
Определение
производной
1
;
х
Решение :
1. f f x f x0 x0 x
1
f x0
x0
x0 x
x x0
1 1
x
f
x0 x x0 x0 x x0
x x0
x x0
f
x
1
2. f ( x0 ) lim
lim
2
x 0 x
x 0 x x x x
x0
0
0
1
1
2
x
x

18.

Таблица производных
1. kx b k
2. x 1
3.C 0
2
4. x 2 x
1
1
5. 2
x
x
1
6. x
2 x

19.

Найдите производные по таблице
1. 4 x 6
4. 7
3
2. 10 x 2 5.
7
3. 4 8 x
6. ( 5 )
7. 5 x
5x
8.
2
4
x
9.
3
x

20.

Найдите производные по таблице
1) 4 x 12
2) 6 3x
3) 0,9 x
4
4 ) х
3
3
x
5)
x
4
x
6) 5
x
7) 100
8) 0,8
9)

21.

Ответы
1) 4 x 12 4
2) 6 3 x 3
3) 0,9 x 0,9
4 4
4) х
3 3
3
x
5) 2 х
x
4
x
1
6) 5 2
х
x
7) 100 0
8) 0,8 0
9) 0

22.

Проблема
2) 6 3 x х
1) 4 x 12 х
1
3) 5
х
2x 1
4)
3х 5

23.

Правила дифференцирования
• Пусть u=u(x) и v=v(x) функции,
дифференцируемые в точке х0.
1. u v u v
2. u v u v v u
3. Cu Cu
u u v v u
4.
2
v
v

24.

Правила дифференцирования
u
v
uI
v
uI
1) 4 x 12 х 4 x 12
u
v
vI
х 4 2
u
1
хI
v
2) 6 3x х 6 3x х 6 3x х 3 х 6 3x
1
2 х
1
1
5
1
3) 5 5 5 2 2
х
х
х
х
2
x
1
2
x
1
3
х
5
2
x
1
3
х
5
2 3х 5 2 x 1 3
4)
2
2
3х 5
3х 5
3х 5
6 х 10 6 х 3
13
2
3х 5
3х 5 2

25.

Найти производные, используя
правила дифференцирования
1
1) 8 x
x
1
2 ) х
x
3) 6 х
2x 7
4 )
4х 3

26.

Производная степенной функции
x
1
2
х 2 х
2
3
2
2
х х х х х х х 1х 2 х 2 х 3х 2
4
х
......
х

27.

Таблица производных
f (x) kx b
x
C
f (x )
1
0
k
f (x) ctgx
1
f (x ) 2
sin x
e
e
x
x
х
a
x
x
x
a ln a
1
х
1
2 х
1
х
1
2
х
sin x cos x tgx
cos x sin x
ln x log a x
1
х
1
х ln a
1
cos 2 x