Математические методы и модели

1.

Математические методы и
модели
Заграновская Анна Васильевна
к.э.н., доц. каф. ПМ и ЭММ,
а. 3049

2.

Потоки платежей
Поток платежей – последовательность денежных сумм,
приуроченных к определённым моментам времени.
Приведённая стоимость потока – сумма членов всего потока с
процентами, приведённая (дисконтированная или наращенная) к
какому-то заданному моменту времени. Обычно в качестве такого
момента выбирают либо момент начала первого периода (в этом
случае говорят о современной стоимости потока), либо момент
окончания последнего периода (тогда говорят о наращенной
стоимости потока). Иногда поток приводят к текущему дню, тогда
говорят о текущей стоимости потока.
Приведение к тому или иному моменту времени может
осуществляться на основе любой модели простых или сложных
ставок.

3.

Оценка эффективности инвестиционного
проекта
Критерии, используемые в анализе инвестиционной
деятельности, можно подразделить на две группы в
зависимости от того, учитывается или нет временной
параметр:
1. Критерии, основанные на дисконтированных
оценках: чистый приведенный эффект (NPV); индекс
рентабельности инвестиций (PI); внутренняя норма
прибыли (IRR); модифицированная внутренняя норма
прибыли (MIRR); дисконтированный срок окупаемости
инвестиций (DPP).
2. Критерии, основанные на учетных оценках: срок
окупаемости
инвестиций
(PP);
коэффициент
эффективности инвестиций (ARR).

4.

Чистый приведенный эффект (NPV)
NPV = ∑[Pk/(1+r)k] – IC , где
Pk – доход в году k
IC – величина первоначальных инвестиций
r – коэффициент, устанавливаемый аналитиком (инвестором) самостоятельно,
исходя из ежегодного процента возврата, который он хочет или может иметь на
инвестируемый им капитал.
Если проект предполагает не разовую инвестицию, а последовательное
инвестирование финансовых ресурсов в течение m лет, то формула для расчета
NPV модифицируется следующим образом:
NPV = ∑[Pk/(1+r)k] - ∑[ICj /(1+i)j], где
k = 1…n
j = 1…m
i – прогнозируемый средний уровень инфляции.
Если NPV> 0, то проект следует принять
Если NPV< 0, то проект следует отвергнуть
Если NPV=0, то проект ни прибыльный, ни убыточный.

5.

Индекс рентабельности инвестиций (PI)
PI = Σ[Pk/(1+r)k]/IC
Если PI>1, то проект следует принять
Если PI<1, то проект следует отвергнуть
Если PI=1, то проект не является ни прибыльным, ни
убыточным.
В отличие от чистого приведенного эффекта, индекс
рентабельности является относительным показателем:
он характеризует уровень доходов на единицу затрат, т.е.
эффективность вложений. Чем больше значение этого
показателя, тем выше отдача каждого рубля,
инвестированного в данный проект.

6.

Внутренняя норма прибыли инвестиций (IRR)
Под внутренней нормой прибыли инвестиций (IRR – синонимы: внутренняя
доходность, внутренняя окупаемость) понимают значение коэффициента
дисконтирования r, при котором NPV проекта равен нулю:
IRR = r, при котором NPV = f(r) = 0.
Иными словами, если обозначить IC=CF0, то IRR находится из уравнения:
Σ [CFk/(1+ IRR)k] = 0, где
k = 0… n
Значение IRR можно рассчитать методом последовательных итераций. Для этого
с помощью таблиц выбираются два значения коэффициента дисконтирования
r1<r2 таким образом, чтобы в интервале (r1,r2) функция NPV= f(r) меняла свое
значение с «+» на «-» или с «-» на «+». Далее применяют формулу:
IRR = r1 + [f(r1)/( f(r1)- f(r2))]*(r2 - r1), где
r1 – значение табулированного коэффициента дисконтирования, при котором
f(r1)>0 [f(r1)<0]
r2 – значение табулированного коэффициента дисконтирования, при котором
f(r2)<0 [f(r2)>0]

7.

Экономический смысл критерия IRR
Экономический смысл критерия IRR заключается в следующем:
коммерческая организация может принимать любые решения
инвестиционного характера, уровень рентабельности которых не ниже
текущего значения показателя «цена капитала» (СС). Под СС
понимается либо WACC, если источник средств точно не
идентифицирован, либо цена целевого источника, если таковой имеется.
Именно с показателем СС сравнивается критерий IRR, рассчитанный для
конкретного проекта, при этом связь между ними такова:
Если IRR > СС, то проект следует принять;
Если IRR < СС, то проект следует отвергнуть;
Если IRR = СС, то проект не является ни прибыльным, ни убыточным.
Средневзвешенная цена капитала (WACC) находится по следующей
формуле:
WACC = wd*kd*(1-T) + wp*kp + ws*ks (или ke), где
wd, wp, ws – оптимальные доли соответственно заемного капитала (d),
привилегированных акций (p) и собственного капитала (s);
kd, kp, ks, ke – цена источника капитала, а именно: цена заемного капитала
(d, % за кредит), цена привилегированных акций (p, фиксированный % по
привилегированным акциям), цена нераспределенной прибыли (s), цена
обыкновенных акций нового выпуска(e).

8.

Простой срок окупаемости (PP) и
дисконтированный срок окупаемости
(DPP)
PP = min n, при котором
ΣPk >= IC, где
k = 1…n
DPP = min n, при котором
ΣPk *[1/(1+r)k]>= IC
Очевидно, что в случае дисконтирования срок
окупаемости увеличивается, т.е. всегда
DPP>PP.

9.

Коэффициент эффективности инвестиций
(ARR)
ARR = PN/[0,5*(IC+RV)], где
PN – чистая прибыль
IC – первоначальные инвестиции
RV – остаточная или ликвидационная стоимость
Данный показатель чаще всего сравнивается с
коэффициентом рентабельности авансированного
капитала, рассчитываемого делением общей чистой
прибыли коммерческой организации на общую сумму
средств, авансированных в ее деятельность (итог
среднего баланса-нетто).

10.

Модифицированная внутренняя норма прибыли
(МIRR)
Для неординарного денежного потока, т.е. когда отток и приток
капитала чередуются, возможно получение нескольких значений
критерия IRR. Соответствующий аналог IRR, который может
применяться
при
анализе
любых
проектов,
назвали
модифицированной внутренней нормой прибыли (МIRR). Общая
формула расчета МIRR имеет вид:
∑[OFi/(1+r)i] =∑[IFi*(1+r)n-i]/(1+ МIRR)n , где
i = 0… n
OFi – отток денежных средств в i-м периоде (по абсолютной
величине);
IFi – приток денежных средств i-м периоде;
r – цена источника финансирования данного проекта (WACC);
n – продолжительность проекта.
Проект принимается в том случае, если МIRR больше цены
источника финансирования проекта (WACC).