Спин, матрицы Паули

1.

Спин электрона. Матрицы Паули
Из эффекта Зеемана следует, что если есть спин, то он создаёт магнитный момент. Поэтому
постулируем, что коммутационные соотношения для оператора спина такие же, как и у
орбитального момента импульса. Для краткости оператор спина будем считать безразмерным
sˆi , sˆk ieikl sˆl
eikl
sˆ 2 , sˆk 0, sˆ 2 sˆx2 sˆy2 sˆz2
абсолютный антисимметричный тензор третьего ранга
Представление
ssz
Собственные значения
3
1
sˆ 2 s(s 1) , sˆz sz
4
2
Кет-векторы и волновые функции
,
2
a, b, a , b
2
a
sz
b
- амплитуды вероятности и вероятности обнаружить электрон в состоянии с
проекцией спина на ось Oz равной 1/ 2
1

2.

«Лирическое отступление.
Расшифровка фразы «двузначность, не описывающаяся КЛАССИЧЕСКИ»
Состояние частицы с орбитальным моментом l=1
l 1, m
ll z
- представление
1
0
0
llz l 1, m 1 0 , llz l 1, m 0 1 , llz l 1, m 1 0
0
0
1
Координатное представление
l 1, m 1 Y11 ( , ), l 1, m 0 Y10 ( , ), l 1, m 1 Y1 1( , )
Классический момент импульса
ˆ
ˆ
M l
0,l
M r p

3.

Спиновый кет-вектор частицы
s ,
2
Существует только
ssz- представление
1
0
ssz s , sz
, ssz s , sz
2
2
2
2
0
1
Классический предел
sˆ
0
0

4.

Операторы спина
Из теории момента
jjz ˆjz jjz jz jz jz ,
jjz ˆj 2 jjz j ( j 1) jz jz
jjz ˆj jjz 1 jjz 1 ˆj jjz ( j jz )( j jz 1)
В рассматриваемых условиях
1
j s ,
2
jz sz
Найти операторы спина?
1
2

5.

Правило нумерации строк и столбцов
s z 1/ 2
s z 1/ 2
sz 1/ 2
sz 1/ 2
f11 f12
f
f
21 22
Найти операторы спина?

6.

Результат
1 1 0
sz sˆz s z
2 0 1
0 0
sz sˆ s z
,
1 0
3 1 0
2
ˆ
sz s s z
4 0 1
0 1
sz sˆ s z
0
0
Матрицы x,y - проекции спина?

7.

Матрицы Паули
ˆs 1 ˆ
2
ˆ x (1)
0 1
0 i
1 0
, ˆ y (2)
, ˆ z (3)
1 0
i 0
0 1
Матрицы вместе с единичной матрицей
1 0
ˆ 0
0 1
образуют полный базис в пространстве двухрядных матриц!

8.

Алгебра матриц Паули
Составить таблицу умножения
ˆi ˆ k
ˆ 0
?
ˆ1
ˆ 2
ˆ 3
ˆ 0
?
?
?
?
ˆ1
?
?
?
?
ˆ 2
?
?
?
?
ˆ 3
?
?
?
?

9.

Таблица умножения
ˆ 0
ˆ1
ˆ 2
ˆ 3
ˆ 0
ˆ 0
ˆ1
ˆ 2
ˆ 3
ˆ1
ˆ1
ˆ 0
i ˆ 3
i ˆ 2
ˆ 2
ˆ 2
i ˆ 3
ˆ 0
i ˆ1
ˆ 3
ˆ 3
i ˆ 2
i ˆ1
ˆ 0
Используя абсолютный антисимметричный тензор и символ Кронекера,
записать в «ковариантном» виде
ˆi ˆ k
ˆ ?

10.

Результат
Внимание:
«немое» суммирование проводится только по дважды повторяющимся греческим индексам
3
ˆ i ˆ k ik ˆ 0 i eikl ˆ l ,
i, k 1,2,3
l 1
Греческие индексы обычно принято не указывать, т.е.
3
ˆ i ˆ k ik ˆ 0 i eikl ˆ l , i, k 1,2,3
l 1

11.

ЗАДАЧИ
(i,k=1,2,3)
ˆ i ˆ k ˆ k ˆ i ?
Sp ˆ i ˆ k ?
?
ˆ a ˆb ?
ˆ a
2
?
Sp ˆ ˆ a ˆ b

12.

Пример решения
ˆ a ˆb a b ˆ
i k
ˆ k
i
ˆ a ˆ b ab ˆ
3
ˆ
ˆ
aibk ik 0 i eikl l
l 1
3
0
i eikl aibk ˆ l ab ˆ 0 i a b ˆ
l 1
a b ey ey2 1

13.

ОТВЕТЫ

14.

ЗАДАЧИ
Найти явный вид операторов
?,
exp i ˆ y ?, exp i n ˆ
?
exp n ˆ
Указание: воспользоваться формулой Эйлера и
представить косинус и синус в виде ряда Тейлора.

15.

ОТВЕТЫ
Iˆ ˆ 0