Частица с l=1

1.

Задача
Частица находится в состоянии с определённым моментом орбитального импульса j=l=1 и
определённой проекцией момента импульса на направление
n sin ,0,cos
Измеряется проекция момента импульса на ось Ox. Найти возможные значения указанной
проекции, получаемые в результате эксперимента и вероятности их измерения.
Решение в обозначениях Дирака
z
Собственные кет-векторы оператора ˆj x
Кет-вектор состояния частицы
j l 1, jn ln 1 ln 1
n
l 1, lx lx
Уравнения на собственные значения
y
lˆn ln ln ln , lˆx lx lx lx
Принцип суперпозиции
x
ln 1 Clx lx
lx
Вероятность измерить значение l x равна
w lx Clx
2
lˆx

2.

Формальное решение в обозначениях Дирака
Домножим на бра-вектор
lx ln 1 Clx lx lx Clx lxlx Clx
lx
lx
Осталось придать смысл значкам
ˆ
lˆx , lˆn ln ,
ln 1 ,
lx
и решить уравнения на собственные значения
ˆ
ln ln ln ln , lˆx lx lx lx
Надо выбрать наиболее адекватное представление!
В координатном представлении уравнения на собственные значения являются дифференциальными уравнениями.
Но нас и не интересуют плотности распределения вероятностей в угловом пространстве.
Будем работать в матричном ll z-представлении.

3.

ˆ
ˆ ln
Матрицы операторов li ,
в случае
l=1
Упрощение обозначений
l , lz lˆz l , lz lz lˆz lz ,
ˆ
ˆ
l , lz l 2 l , lz lz l 2 lz
ˆ
lˆz , l 2 в собственном представлении
ˆ
lz lˆz lz lz lzlz , lz l 2 lz l (l 1) lzlz
Матричные элементы
lz 1 lz 0 lz 1
Номер строки
f11 f12 f13
f
f
f
l 0
21
22
23
l 1
f31 f32 f33
lz 1
z
z
Найти матрицы?
Номер столбца

4.

Ответ
1 0 0
lz lˆz lz 0 0 0
0 0 1
1 0 0
ˆ2
lz l lz 2 0 1 0
0 01

5.

Матричные элементы lˆ в
x, y
llz представлении
Сначала построим матрицы повышающего и понижающего операторов
Общая формула
jjz ˆj jjz 1 jjz 1 ˆj jjz ( j jz )( j jz 1)
Перебираем все возможные значения
j l 1,
jz lz 0, 1
Найти матрицы?

6.

Ответ
lz lˆ lz 1 lz 1 lˆ lz (1 lz )(1 lz 1)
lˆ lˆx ilˆy , lˆ lˆx ilˆy
0 10
lz lˆ lz 2 0 0 1 ,
0 0 0
0 0 0
lz lˆ lz 2 1 0 0
0 10
Матрицы lˆx , y ?

7.

Ответ
0 10
1
ˆ
lz lx lz
1 0 1 ,
2
0
1
0
0 1 0
i
ˆ
lz l y lz
1 0 1
2
0
1
0
Найти матрицу lˆ
n
ˆ
ln

8.

Матрица lˆn
ˆ
ln
ˆ
lˆn ln sin lˆx cos lˆz
sin
cos
0
2
sin
ˆ sin
lz ln lz
0
2
2
sin
0
cos
2
Найти решение задачи на собственные значения?

9.

Решение задачи на собственные значения
a a
ˆ
ln b ln b
c c
2 cos ln a sin b 0 c 0
sin a 2 ln b sin c 0
0 a sin b 2 cos ln c 0
Детерминант?

10.

Детерминант
ln cos 2 ln2 ln sin 2 0 ln 0, 1
Собственные векторы?

11.

Собственные векторы
ln 1
Система
2 cos 1 a sin b 0
sin b 2 cos 1 c 0
Полезные тождества
1 cos 2sin 2 , sin 2sin cos
2
2 2
Собственные векторы?

12.

Вспомогательные формулы
2 cos 1 a sin b 0
sin b 2 cos 1 c 0
1 sin
b
2 1 cos
1 sin
c
b
2 1 cos
a
1
cot b
2 2
1
tan b
2 2

13.

Собственные векторы. Продолжение
ln 1
2
cos 2
sin
llz ln 1 ln 1
2
sin 2
2
ln 0, 1 ?

14.

Собственные векторы. Продолжение
ln 1
2
cos 2
sin
ln 1
2
sin 2
2
ln 0
ln 1
sin
1
ln 0 2 cos
2
sin
2
sin
2
sin
ln 1
2
cos 2
2
Проверить ортогональность?
Вспоминаем, зачем всё это надо
ln 1 Clx lx , Clx lx ln 1
lx
Надо найти
lx lx
†

15.

Собственные векторы оператора проекции на ось Ox
lx ln
2
lx 1
lx 0
lx 1
1
1
lx 1 2
2
1
1
1
lx 0 0
2
1
1
1
lx 1 2
2
1
Clx lx ln 1 ?

16.

Ответ
2
cos 2
1
sin
1 2
1
2
C1 lx 1 ln 1 1 2 1
cos sin sin 1 sin
2
2
2
2 2
2
sin 2
2
2
cos 2
1
sin 1
C 1 lx 1 ln 1 1 2 1
sin 1
2
2
2
sin 2
2
2
cos 2
1
sin 1 2
1
C0 lx 0 ln 1
1 0 1
sin cos 2
cos
2
2
2
2
2
2
sin 2
2

17.

ЗАДАЧИ

18.

10.1,
ĵ
Общая формула
jjz ˆj jjz 1 jjz 1 ˆj jjz ( j jz )( j jz 1)
jz
1
j
2
1
j
2
3
j
2
jz
z
z
z
3
2
3
1
1
jz jz jz 3
2
2
2
2
f11 f12 f13 f14
f 21 f 22 f 23 f 24
f31 f32 f33 f34
f 41 f 42 f 43 f 44

19.

Ненулевые элементы
f12 , f 23 , f34
f12 j
3
3
3
1
jz ˆj j jz
3
2
2
2
2
3
1 ˆ
3
1
f 23 j jz j j jz 2
2
2
2
2
f34 j
3
1
3
3
jz ˆj j jz 3
2
2
2
2
0
0
ˆj
0
0
3
0
0
2
0
0
0
0
0
0
3
0

20.

10.2
jjz
ˆjn jj jj n ˆj ˆj n ˆj ˆj n ˆj jj cos
z
z
x
y
z
z
z
2
2i