Наложения и движения

1. Наложения и движения

2. Понятие наложения

Под наложением фигуры Ф на фигуру Ф1 мы понимаем
некоторое отображение фигуры Ф на фигуру Ф1.
При наложении не только точки фигуры Ф, но и любая точка
плоскости отображается в определенную точку плоскости.
Таким образом, Наложение – это
отображение плоскости на себя.

3. Примечание!!!

Не всякое отображение плоскости
на себя мы называем наложением.
Наложения – это такие
отображения плоскости на себя,
которые обладают свойствами,
выраженными в аксиомах,
которые позволяют доказать все
те свойства наложений, которые
мы представляем наглядно и
которыми пользуемся при
доказательстве теорем и решении
задач.

4. При наложении в различные точки отображаются в различные точки

В самом деле, предположим, что это не так, т. е. при
некотором наложении какие-то две точки А и В
отображаются в одну и ту же точку С. Тогда фигура Ф1,
состоящая из точек А и В, равна фигуре Ф2, состоящей
из одной точки С. Отсюда следует, что Ф2 =
Ф1 (аксиома 12), т. е. при некотором наложении фигура
Ф2 отображается в фигуру Ф1. Но это невозможно, так
как наложение — это отображение, а при любом
отображении точке С ставится в соответствие только
одна точка плоскости.
Из доказанного утверждения следует, что при
наложении отрезок отображается на равный ему
отрезок. Действительно, пусть при наложении концы А
и В отрезка АВ отображаются в точки А1 и В1. Тогда
отрезок АВ отображается на отрезок А1В1 (аксиома 7),
и, следовательно, отрезок АВ равен отрезку А1В1. Так
как равные отрезки имеют равные длины, то
наложение является отображением плоскости на себя,
сохраняющим расстояния, т. е. любое наложение
является движением плоскости.

5. Любое движение является наложением

Рассмотрим произвольное движение (обозначим его
буквой g) и докажем, что оно является наложением.
Возьмём какой-нибудь треугольник АВС. При
движении g он отображается на равный ему
треугольник А1В1С1. По определению равных
треугольников существует наложение ƒ, при котором
точки А, В и С отображаются соответственно в точки
А1, В1 и С1.
Любое движение
является
наложением
Докажем, что движение g совпадает с наложением ƒ.
Предположим, что это не так. Тогда на плоскости
найдётся хотя бы одна такая точка М, которая при
движении g отображается в точку М, а при наложении
ƒ — в другую точку М2. Так как при отображениях ƒ u
g сохраняются расстояния, то AM = А1М1, AM = А1М2,
поэтому A1M1 = А1М2, т. е. точка А1 равноудалена от
точек М1 и М2 (рис. 328). Аналогично доказывается,
что точки В1 и С1 равноудалены от точек М1 и М2.
Отсюда следует, что точки А1, В1 и С1 лежат на
серединном перпендикуляре к отрезку М1М2. Но это
невозможно, так как вершины треугольника А1В1С1 не
лежат на одной прямой. Таким образом, отображения
ƒ u g совпадают, т. е. движение g является
наложением.
Следствие: При движении любая
фигура отображается на равную ей

6. СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ