Стереометрические задачи повышенной сложности

1. Стереометрические задачи повышенной сложности

Задание 14, пробный экзамен ,
Март 2020

2. Вариант 201

• В основании пирамиды SABCD лежит трапеция
ABCD.
• Основание AD в два раза больше основания ВС.
• На ребре SC взята точка M, такая, что
SM:MC=2:1.
• Сечение, проходящее через точки A,B и M,
пересекает ребро SD в точке N.
• а) Докажите, что SN=DN
• б)Найдите отношение объемов тетраэдра SAMN
и пирамиды ACDNM

3.

Построение.
S
P
Проведем SP ll BC.
BM пересекает SP в точке P.
N
Проведем AP. Она пересекает SD в точке N
M
D
A
B
MNAB –искомое сечение
C
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD.
Основание AD в два раза больше основания ВС.
На ребре SC взята точка M, такая, что SM:MC=2:1. Сечение,
проходящее через точки A,B и M, пересекает ребро SD в точке N.
а) Докажите, что SN=DN
б)Найдите отношение объемов тетраэдра SAMN и пирамиды ACDNM

4.

Доказательство.
S
P
P
S
M
N
C
B
SMP подобен
M
D
A
SP=2 BC
По условию, AD=2BC
B
C
CMP
Значит, SP=AD
ASPD -параллелограмм
Диагонали APи SD точкой пересечения делятся пополам.
N- середина SD.
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD. Основание AD в два раза
больше основания ВС. На ребре SC взята точка M, такая, что SM:MC=2:1. Сечение,
проходящее через точки A,B и M, пересекает ребро SD в точке N.
а) Докажите, что SN=DN

5.

Решение.
S
N
M
D
A
B
C
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD. Основание AD в два раза
больше основания ВС. На ребре SC взята точка M, такая, что SM:MC=2:1. Сечение,
проходящее через точки A,B и M, пересекает ребро SD в точке N.
б)Найдите отношение объемов тетраэдра SAMN и пирамиды ACDNM

6.

Решение.
S
N
N1
M
C
M
S
N
M1
D
D
A
B
C
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD. Основание AD в два раза
больше основания ВС. На ребре SC взята точка M, такая, что SM:MC=2:1. Сечение,
проходящее через точки A,B и M, пересекает ребро SD в точке N.
б)Найдите отношение объемов тетраэдра SAVN и пирамиды ACDNM

7. Вариант 203

На ребре А 1 правильной призмы ABCDA1B1C1D1
отмечена точка М так, что АМ:МА1 =2:1.
Точка М является вершиной прямого конуса, на
окружности основания которого лежат три
вершины призмы, включая В1 .
а) Докажите, что угол МDA равен 30⁰.
б) Найдите площадь боковой поверхности конуса,
если АВ=

8.

В1
С1
А1
На ребре АА1 правильной призмы ABCDA1B1C1D1
отмечена точка М так, что АМ:МА1 =2:1. Точка М
является вершиной прямого конуса, на окружности
основания которого лежат три вершины призмы,
включая В1 .а) Докажите, что угол МDA равен 30⁰.
б) Найдите площадь боковой поверхности конуса,
если АВ=
D1
В
M
А
С
D
Пусть АВ=AD=a, а AA1=h

9.

В1
С1
А1
На ребре АА1 правильной призмы ABCDA1B1C1D1
отмечена точка М так, что АМ:МА1 =2:1. Точка М
является вершиной прямого конуса, на окружности
основания которого лежат три вершины призмы,
включая В1 .а) Докажите, что угол МDA равен 30⁰.
б) Найдите площадь боковой поверхности конуса,
если АВ=
D1
В
M
А
С
С
D
D1
В1
H

10. Вариант 204

• В основании пирамиды SABCD лежит трапеция
ABCD.
• Основание AD в два раза больше основания ВС.
• На ребре SD взята точка N, такая, что SN=DN/
• Сечение, проходящее через точки A,B и N,
пересекает ребро SC в точке M
• а) Докажите, что SM:MC=2:1.
• б)Найдите отношение объемов тетраэдра SAMN
и пирамиды ACDNM