Теория систем и системный анализ. Метод Анализа Иерархий

1. Теория систем и системный анализ. Метод Анализа Иерархий

2. Введение

Томас Саати
американский
Разработал в 1970 процедуру
математик
поддержки принятия решений
"Analityc hierarchy process"
(AHP).
В России эту процедуру
назвали "Метод анализа
иерархий" (МАИ).

3. Метод анализа иерархий

Метод состоит в декомпозиции проблемы на
все более простые составляющие части и
дальнейшей обработке последовательности
суждений лица, принимающего решения, на
основе парных сравнений.
Основная цель исследования и все факторы,
в той или иной степени влияющие на
достижение цели, распределяются по
уровням в зависимости от степени и
характера влияния.

4. Метод анализа иерархий

Метод анализа иерархий – наиболее эффективный метод
решения задач Теории Принятия Решений в случае
определенности и многокритериальности.
Этапы решения задачи принятия решений методом анализа
иерархии:
1.
2.
3.
4.
Формализация задачи в виде иерархической структуры: цель, критерии ,
альтернативы
Эксперты или ЛПР выполняют попарные сравнения элементов каждого уровня.
Результаты сравнений представляют как совокупность матриц парных или
попарных сравнений
На основе полученных матриц парных сравнений вычисляются коэффициенты
важности для элементов каждого уровня. При этом проверяют согласованность
суждений экспертов при помощи индекса согласованности
Вычисляется итоговый вес каждой альтернативы и определяется наилучшая
альтернатива.

5. Этапы реализации МАИ

Формулировка цели, выбор критериев и альтернатив
Построение дерева иерархии проблемы
Определение относительной важности
Расчет вектора приоритетов
Определение согласованности приоритетов
Корректировка суждений
Иерархический синтез

6. Построение иерархий

На первом уровне иерархии всегда находится
одна вершина – цель проводимого исследования.
Второй уровень иерархии составляют критерии,
непосредственно влияющие на достижение цели.
При этом каждый критерий представляется в
строящейся иерархии вершиной, соединенной с
вершиной 1-го уровня.
Третий уровень составляют критерии, от которых
зависят вершины 2-го уровня. И так далее.
На последний уровень обычно выносятся
альтернативы

7. Этап №2. Построение дерева иерархии проблемы

Начинается с вершины (цели), через промежуточные
уровни (перечень критериев) к самому нижнему уровню
(перечень альтернатив). Уровней критериев может
быть несколько.
Иерархическая структура — это
графическое представление проблемы в
виде перевернутого дерева, где каждый
элемент, за исключением самого
верхнего, зависит от одного или более
выше расположенных элементов.

8. Иерархическая структура МАИ

9. Пример построения иерархии

1.
2.
На верхней ступени иерархии стоит цель: Выбор кандидата
Группа 1 и Группа 2 – это 2 независимые комиссии по оценке
кандидатов. Можно их рассматривать как критерии первого уровня
иерархии подцели. При этом критерии «образование» и «опыт» для
каждой Группы имеют свою значимость

10. Этап №3. Определение относительной важности

Если принимается метод попарного сравнения, то
строится множество матриц парных сравнений.
Для этого в иерархии выделяют элементы двух типов:
элементы-«родители» и элементы-«потомки».
Элементы-«потомки» воздействуют на
соответствующие элементы вышестоящего уровня
иерархии, являющиеся по отношению к ним
элементами-«родителями».
Матрицы парных сравнений строятся для всех
элементов-«потомков», относящихся к
соответствующему элементу-«родителю».

11. Этап №3. Определение относительной важности

Для каждого элемента-«родителя» строится квадратная
матрица размерностью, равной числу элементов n более
низкого уровня (А1, А2, …, Аn), являющегося его элементом«потомком».
A = (aij ) (i, j = 1, 2,…, n)
Если элементы (А1, А2, …, Аn) могут
быть оценены количественно по
какому-либо параметру (вес,
стоимость, время и т.д.), то их парное
сравнение можно осуществить,
сравнивая между собой
количественные значения данного
параметра для каждого элемента (β1,
β2, …, βn). Тогда в соответствующие
клетки матриц заносятся отношения
этих количественных значений.
?
Если значения (β1, β2, …, βn)
неизвестны заранее, то парное
сравнение элементов (А1, А2, …,
Аn) производится с
использованием субъективных
суждений, численно оцениваемы
х по шкале относительной
важности.

12. Шкала относительной важности

Значение
важности
1
Равная важность элементов
3
Умеренное превосходство одного элемента над другим
5
Существенное или сильное превосходство одного элемента
над другим
7
Значительное превосходство одного элемента над другим
9
Очень сильное превосходство одного элемента над другим
2, 4, 6, 8
Промежуточные решения между двумя соседними
суждениями, применяются в компромиссном случае
1/3, 1/5, …
Обратные величины, полученные при сравнении второго
элемента с первым, означают ту или иную степень
превосходства второго элемента над первым
Определение

13. Шкала относительной важности

?
?
?
?
Какой из элементов важнее
Какой из элементов имеет
большее воздействие
Какой из элементов более
вероятен
Какой из элементов
предпочтителен, желателен

14. Правила сравнения

Если элемент Аi доминирует над элементом Аj, то клетка на пересечении
строки Аi и столбца Аj заполняется числовым значением в соответствии
со шкалой относительной важности, а клетка на пересечении строки Аj и
столбца Аi – обратной к этому значению дробью.
Если aij = α , то aji = 1/α , α ≠ 0 .
2. Если элемент Аj доминирует над элементом Аi, то происходит обратное –
в клетку на пересечении строки Аj и столбца Аi записывается числовое
значение относительной важности, а в клетку на пересечении строки Аi и
столбца Аj – его обратная величина (обратная дробь).
3. Если элементы Аi и Аj считаются одинаковыми, то в обе клетки
записываются единицы, т.е. Аi имеет одинаковую с Аj относительную
важность, то aij =1 , aji =1; в частности, aii =1 для всех i.
1.

15. Этап №4. Расчет вектора приоритетов

Приоритеты — это числа, которые связаны с
элементами иерархии.
Они представляют собой относительные веса w1, w2,
…, wn элементов в каждой группе.
Подобно вероятностям, приоритеты — безразмерные величины,
которые могут принимать значения от нуля до единицы.
Чем больше величина приоритета, тем более значимым
является соответствующий ему элемент.
Сумма приоритетов элементов, подчиненных одному
элементу выше лежащего уровня иерархии, равна единице.
Приоритет цели по определению равен 1.

16. Построение матрицы парных сравнений (1)

Методы парных сравнений используются для нахождения
весов (приоритетов) критериев и оценок альтернатив
Если дано n объектов a1,a2,….an. И для каждого элемента
определен его вес wi и и выполняется условие нормировки
w1+w2+…wn=1. Тогда можно построить матрицу
относительных весов

17. Построение матрицы парных сравнений (2)

Каждый элемент аij матрицы
относительных весов показывает
отношение i-ого элемента к j-му. Все
элементы матрицы >0
Элементы матрицы расположены
симметрично относительно главной
диагонали
Элемент аij обратен элементу ji

18. Построение матрицы парных сравнений (3)

Матрица V является совместной, т.е. для
всех элементов матрицы выполняется
равенство:
Число n является собственным числом
матрицы, а вектор
собственный вектор матрицы, тогда
справедливо:

19. Построение матрицы парных сравнений (4)

Матрица V имеет только два собственных
числа 0 и n, тогда, обозначив
имеем
Данные рассуждения справедливы, если веса
(вектор
заданы заранее ). На
практике эти веса необходимо определить.
Веса – это значимость объектов, альтернатив

20. Построение матрицы парных сравнений (5)

Как решается? Эксперты (лица, которые
знакомы с данной предметной областью)
заполняют матрицу попарных
сравнений, определяя, во сколько одна
альтернатива значимее другой.
Полученная матрица называется
матрицей попарных сравнений

21. Построение матрицы парных сравнений (6)

Достаточно выполнить только n(n-1)/2
сравнений, чтобы, например, заполнить
все элементы выше диагонали.
Остальные элементы находятся из
соотношения vij=1/vji

22. Построение матрицы парных сравнений (7)

Как сравнивать элементы?
Предлагается использовать шкалу
{1/9, 1/8,…,1/2, 1, 2, 3,….,8,9}
–
–
–
–
–
–
1 – равная важность
3 - слабое превосходство
5 - сильное превосходство
7 – очень сильное превосходство
9 – абсолютное превосходство
2,4,6,8 – промежуточные случаи

23. Построение матрицы парных сравнений (8)

Для получения вектора W необходимо найти
собственные числа матрицы V, т.е. решить систему:
После нахождения собственного числа матрицы
можно вычислить собственный вектор, а затем
нормализовать его так, чтобы выполнялось условие:
w1+w2+….+wn =1

24. Построение матрицы парных сравнений (9)

1.
2.
3.
Замечания:
На практике свойство совместности не удовлетворяется
Максимальное собственное значение больше n
Поэтому для оценки того, что матрица парных сравнений
удовлетворяет условию совместности вводят индекс
согласованности

25. Индекс согласованности (1)

ИС - количественная оценка противоречивости результатов
сравнений. Индекс согласованности не зависит от шкал
сравнений, но зависит от количества парных сравнений. Индекс
согласованности – положительное число. Чем меньше
противоречий в сравнениях, тем меньше значение индекса
согласованности. При использовании способа сравнений с
эталоном значение индекса согласованности равно нулю.

26. Индекс согласованности (2)

Насколько плоха согласованность суждений для
определенной задачи, можно оценить путем
сравнения индекса согласованности (ИС) и
случайного индекса согласованности (СИ).
Случайным индексом согласованности (СИ)
называют индекс согласованности сгенерированной
случайным образом по шкале от 1 до 9 обратносимметричной матрицы с соответствующими
обратными величинами элементов.

27. Случайный индекс согласованности

Средние значения индекса случайной
согласованности (СИ) для случайных
матриц порядка от 1 до 15 на базе 100
случайных выборок

28. Отношение согласованности

Отношение индекса согласованности (ИС) к среднему
значению случайного индекса согласованности (СИ)
называется отношением согласованности (ОС):
Отклонение от согласованности считается
приемлемым, если:
Для матриц порядка n=3 желательно выполнение
условия
, а для матриц порядка n=4

29. Пример. Матрица парных сравнений (1)

Пусть имеется матрица парных сравнений:

30. Пример. Матрица парных сравнений (2)

Чтобы найти максимальное собственное число (вещественное),
необходимо решить уравнение:
Единственный вещественный корень уравнения
Индекс согласованности
Отношение согласованности:
Отношение согласованности не превышает 0.05, следовательно,
матрица согласована

31. Пример. Матрица парных сравнений (3)

Собственный вектор, соответствующий
данному числу равен:
W = {0.91, 0.35, 0.19}
Нормированный вектор будет равен:
w* = { 0.62, 0.24, 0.13}
Замечание: Для получения нормированного вектора используем
следующую формулу:
Например,

32. Метод Саати

Томас Саати предложил следующий
метод вычисления собственного вектора:

33. Пример метода Саати

Используя метод Саати, имеем:
После нормализации:
w* = { 0.624, 0.238, 0.136}

34. Пример применения Метода Анализа Иерархий (1)

Пусть имеются две независимые группы
экспертов, оценивающих кандидатов.

35. Пример применения Метода Анализа Иерархий (2)

Матрица парных сравнений по критерию «образование»
Тогда приоритеты кандидатов по данному критерию равны
Матрица парных сравнений по критерию «опыт»
Тогда приоритеты кандидатов по данному критерию равны

36. Пример применения Метода Анализа Иерархий (3)

Построим матрицу парных сравнений для критериев
«образование» и «опыт» в соответствии с
представлениями экспертов первой группы:
Веса критериев следующие:
Замечание: По мнению экспертов первой группы опыт более
значим чем образование (примерно в 2 раза)

37. Пример применения Метода Анализа Иерархий (4)

Построим матрицу парных сравнений для критериев
«образование» и «опыт» в соответствии с
представлениями экспертов второй группы:
Веса критериев следующие:

38. Пример применения Метода Анализа Иерархий (5)

Матрица парных сравнений самих групп
экспертов.
Замечание: означает, что мнение экспертов второй группы значимее, чем мнение
экспертов первой группы
Веса критериев первого уровня (веса групп)

39. Пример применения Метода Анализа Иерархий (6)

Итоговый вес первого кандидата:
Итоговый вес второго и пятого кандидатов:
Таким образом, оптимальным является первый кандидат:

40. Пример применения метода анализа иерархий. Выбор научного руководителя студентом(1)

Студент старших курсов выбирает себе научного руководителя,
руководствуясь следующими критериями:
1. Перспективность проводимых исследований в группе с точки зрения
дальнейшего трудоустройства С1
2. Личный интерес студента к проводимым исследованиям С2
3. Связь научной группы с конкретными группами, принимающими
специалистов на работу С3
4. Профессионализм, характер и личные качества научного
руководителя С4
–
Имеется три кандидата A, B и С

41. Пример применения метода анализа иерархий. Выбор научного руководителя студентом(2)

1.
2.
Строим иерархию
Необходимо построить следующие матрицы
попарных сравнений:
1.
4 матрицы попарных сравнений кандидатов
относительно каждого критерия. В итоге
получаем вектор приоритетов кандидатов
относительно каждого критерия
2.
Матрицу попарных сравнений критериев. В итоге
получаем вектор приоритетов критериев.

42. Пример применения метода анализа иерархий. Выбор научного руководителя студентом(3)

1) матрица попарных сравнений относительно первого
критерия
W*i
A
B
C
Wi
A
1,00
3,00
7,00
2,76
0,65
B
0,33
1,00
5,00
1,19
0,28
C
0,14
0,20
1,00
0,31
0,07
ОС<0.1 , следовательно, матрица
согласована

43. Пример применения метода анализа иерархий. Выбор научного руководителя студентом(4)

2) матрица попарных сравнений относительно второго критерия
Информация в таблице говорит о том, что A cильно превосходит B,
но С очень сильно превосходит A. Следовательно, С должно
превосходить B
A
B
C
wi
wwi
A
1,00
5,00
0,14
0,89
0,17
B
0,20
1,00
0,11
0,28
0,05
C
7,00
9,00
1,00
3,98
0,77
ОС > 0.1 , следовательно, матрица плохо согласована и оценки
экспертов необходимо пересмотреть

44. Пример применения метода анализа иерархий. Выбор научного руководителя студентом(5)

Обновленная матрица попарных сравнений относительно второго
критерия
A
B
C
A
1,00
0,33
7,00
B
3,00
1,00
9,00
C
0,14
0,11
1,00
wi
0,75
0,33
3,98
wwi
0,15
0,07
0,79
ОС<0.1 , следовательно, матрица согласована

45. Пример применения метода анализа иерархий. Выбор научного руководителя студентом(5)

3) матрица попарных сравнений относительно
третьего критерия (Связь научной группы с
конкретными группами, принимающими
специалистов С3)
A
B
C
wi
wwi
A
1,00
0,20
0,50
0,46
0,12
B
5,00
1,00
3,00
2,47
0,65
C
2,00
0,33
1,00
0,87
0,23
ОС<0.1 , следовательно, матрица согласована

46. Пример применения метода анализа иерархий. Выбор научного руководителя студентом(6)

4) матрица попарных сравнений относительно 4-ого
критерия (Профессионализм, характер и личные
качества научного руководителя С4)
A
B
C
wi
wwi
A
1,00
9,00
3,00
3,00
0,66
B
0,11
1,00
0,14
0,25
0,05
C
0,33
7,00
1,00
1,33
0,29
ОС<0.1 , следовательно, матрица
согласована

47. Пример применения метода анализа иерархий. Выбор научного руководителя студентом(7)

5) Строим матрицу попарных сравнений для
критериев
1.
2.
3.
4.
Перспективность проводимых исследований в группе с точки зрения дальнейшего
трудоустройства С1
Личный интерес студента к проводимым исследованиям С2
Связь научной группы с конкретными группами, принимающими специалистов на работу С3
Профессионализм, характер и личные качества научного руководителя С4
c1
c2
c3
c4
5.
6.
C1
1,00
1,00
3,00
0,20
c2
1,00
1,00
3,00
0,20
c3
0,33
0,33
1,00
0,20
c4
5,00
5,00
5,00
1,00
w
1,14
1,13
2,59
0,30
ww
0,22
0,22
0,50
0,06
Критерии C1 и С2 равны. Критерий С1 слабо уступает С3, но сильно превосходит С4.
ОС <0.1, следовательно, матрица согласована

48. Пример применения метода анализа иерархий. Выбор научного руководителя студентом(8)

Сворачиваем критерии с учетом векторов
приоритетов, полученных ранее:
А = 0.65*0.22+0.15*0.22+0.12*0.5+0.66*0.06
=0.27
– B = 0.18
– C = 0.31
Ответ. Более предпочтительным является
последний вариант, хотя предпочтение слабое
по сравнению с первым вариантом
–

49. Домашнее задание МАИ (1)

Решить задачу, используя МАИ.
Студент ВУЗа ищет работу и
рассматривает следующие четыре
варианта:
–
–
–
–
А: работа по специальности на кафедре.
В: работа официантом в ресторане.
С: работа по специальности на предприятии.
D: не работать вообще и сфокусироваться на учебе.

50. Домашнее задание МАИ (2)

Предлагаются следующие критерии:
– С1: Заработная плата (У.е./месяц)
– С2: Свободное время (часы /неделю), которое планируется потратить
на учебу. Вычисляется из расчета:
128 ч (неделя) – 18 ч (12 пар в неделю) – 49 ч (7 ч на сон в день)
= 61 ч
Далее из 61 ч вычитается кол-во часов, планируемое потратить
на работу в неделю.
– С3: Профессиональные перспективы с точки зрения работы по
специальности после окончания института
– С4: Вероятность поступления в аспирантуру после окончания
института
Замечание: Вы можете добавить свои критерии к перечисленным выше
и дополнить таблицу с исходными данными

51. Домашнее задание МАИ (3)

Варианты
Критерии
C1
С2
С3
С4
А
100
41
Выше среднего
Высокие
B
600
13
Низкие
Низкие
C
300
21
Высокие
Средние
D
0
61
Выше среднего
Выше среднего

52. Домашнее задание МАИ(4)

Необходимо:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Составить иерархию для поставленной задачи
Составить матрицы попарных сравнений альтернатив относительно
каждого критерия, используя исходные данные, представленные в
таблице.
Проверить каждую таблицу на согласованность данных
Составить матрицу попарных сравнений критериев, исходя из
собственных мировоззрений
Проверить таблицу на согласованность данных
Выполнить свертку критериев для каждой альтернативы, используя
векторы приоритетов, вычисленные в п.2,4.

53. Домашнее задание МАИ (5)

Сроки выполнения ДЗ:
–
Сдавать не позднее 27.05.2022
Выполнение данного задания +10 баллов.