Сложное движение твердого тела (Сложение движений твердого тела). Лекция 16

1.

Лекция 16
Сложное движение твердого тела
(Сложение движений твердого
тела)

2.

Сложение движений тела
Определение. Движение тела
называется сложным, если оно
движется относительно подвижной
системы координат Охуz, а эта система
координат совершает переносное
движение по отношению к
неподвижной системы координат
О1х1у1z1.
z1
z
у
О
О1
х
у1
х1
Сложение поступательных движений
Пусть относительное
движение является поступательным со
скоростью V1 , а переносное движение – тоже поступательное
со скоростью V2 .
Тогда все точки
тела в относительном движении
будут иметь
скорость V1 , а в переносном – скорость V2 .

3.

По теореме о сложении скоростей все точки тела в
абсолютном
движении имеют одну и ту же скорость
V V1 V2 , т.е. абсолютное движение тела будет тоже
поступательным.
Вывод. При сложении
двух поступательных движений со
скоростями V V1 и V2 результирующее
также
движение
будет поступательным со скоростью V V1 V2 .
Сложение вращений вокруг двух параллельных осей
Рассмотрим случай, когда
относительное движение тела
является вращением с угловой
скоростью 1 вокруг оси аа/,
укрепленной на оси bа, а переносное
– вращением кривошипа bа вокруг
/, с угловой
оси bb/, параллельной
аа
скоростью 2 .
b/
2
В
b
а/
1
А
а

4.

Случай 1. Вращения направлены в одну сторону
Рассмотрим сечение (S) осям вращения аа/ и bb/. Точки А и
В – следы от осей вращения. Точка А имеет скорость только
за счет вращения вокруг оси Вb/, следовательно, VА = 2 ·АВ.
Точно так же VВ = 1· АВ. М.ц.с. для (S) в точке С.
Угловая скорость (S) - = VА/АС = VВ/ВС.
Откуда = (VА+VВ)/АВ = 1 + 2.
Вывод. При сложении вращений,
направленных в одну сторону,
результирующее движение будет
мгновенным вращением с абсолютной
угловой скоростью = 1 + 2 вокруг
мгновенной оси, параллельной
данным осям.
b
/
а /
2
1
В
С
А
VА
В
VВ
с/
2
А
С
(S)
1

5.

Случай 2. Вращения направлены в разные стороны.
Предположим, что 1 > 2.
b/
По аналогии с предыдущим случаем:
В
VА = 2 · АВ.
VВ = 1 · АВ.
2
/
Мгновенная ось Сс вращения будет
2
В
проходить через м.ц.с. – точку С, причем
=VВ/ВС =VА/АС и (VВ – VА)/АВ= 1 – 2.
VВ
а /
с/
А
С
1
1
V
(S) А
А
Подставляя в последнее выражение VА и VВ, получим
= 1 – 2 и
/ АВ = 1 /ВС = 2 /АС .
С
(*)
Вывод. При сложении вращений, направленных в разные
стороны, результирующее движение будет мгновенным
вращением с абсолютной угловой скоростью = 1 – 2
вокруг мгновенной оси Сс /, параллельной данным осям,
положение которой определяется пропорциями (*).

6.

Случай 3. Пара вращений
Рассмотрим случай, когда
вращения направлены в разные
стороны , но по модулю 1= 2.
Такая совокупность вращений
называется парой вращений, а
векторы 1 и 2 образуют пару
угловых скоростей.
1
В
А
V
2
VВ
2
1
В
(S)
А
VА
Для скоростей точек А и В: VА = 2 · АВ, VВ = 1 ·АВ, т. е. VА = VВ.
М.ц.с. находится в бесконечности, поэтому скорости всех его
точек равны и численно определяться по формуле: V = 1 · АВ.
Вывод. В случае пары вращения движение тела будет
поступательным со скоростью численно равной 1 · АВ и
направленной
перпендикулярно
плоскости,
проходящей через
векторы 1 и 2 ;направление вектора V определяется так
же, как в статике определяется направление момента пары m.

7.

1 1
2
А
2
О
Сложение вращений вокруг пересекающихся осей
Пусть относительное движение тела
представляет
собой вращение с угловой
скоростью 1 вокруг оси а1а,
укрепленной на кривошипе 2, а
переносным является врашение
кривошипа с угловой скоростью 2
вокруг оси b1 b, которая с осью а1а
пересекается в точке О.
Е
D
Пример. Велосипедная педаль.
а
b
1
О
1
2
а1
b1
2
Скорость точки О равна нулю, т.е. тело 1 совершает
сферическое движение. Угловая скорость тела 1 2 .
V

8.

Вывод. При сложении вокруг двух осей,
пересекающихся
в
точке
О,
результирующее движение тела будет
мгновенным вращением вокруг оси Ос,
проходящей через точку О, и угловая
скорость этого вращения будет равна
геометрической сумме относительной и
переносной угловых скоростей.
с
b
а
2
1
О
Мгновенная ось Ос направлена вдоль вектора , т. е. по
диагонали параллелограмма,
на векторах
построенного
1 и 2 .
Сложение поступательного и вращательного движений
Переносное движение – движение платформы со скоростью V .
Относительное движение – вращение с угловой скоростью .

9.

Случай 1. V .
а
Пусть тело вращается с угловой скоростью
и движется
поступательно со
скоростью V .
Представим поступательное движение в
/ //
виде пары вращений , . При этом
1
А
V
2
/
//
, а .
3
Расстояние определится в виде:
АР = V / .
//
Векторы и взаимно уничтожаются.
Точка Р будет м.ц.с.
а
/
Р
А
V
//

10.

Случай 2. Винтовое движение (V || ).
Если сложное движение тела
складывается из вращательного
вокруг
оси Аа, с угловой скоростью
и поступательного со скоростью V ,
направленного параллельно оси Аа, то
движение называется винтовым.
Ось Аа называется осью винта.
а
V
М
h
А
Расстояние, проходимое за время одного оборота любой
точкой тела, не лежащей на оси винта, называется шагом h
винта. Можно показать, то h = 2 V / .
V