Первообразная. Неопределенный интеграл

1. Занятие 105. Первообразная. Неопределенный интеграл.

Математика
Занятие 105. Первообразная.
Неопределенный интеграл.
1. Первообразная
2. Неопределенный интеграл

2. Первообразная

Для каждой математической операции
существует обратная операция.
Например, для сложения – это вычитание,
для умножения – деление, для возведения в
степень – извлечение корня, и т.д.
Для обратной операции дается определение,
причем через исходную операцию, а также
присваивается соответствующее
обозначение.
Существует обратная операция и для
дифференцирования. Называется она интегрирование.

3. Первообразная

Вспомним одну из основных задач физики, решение которой
способствовало появлению операции дифференцирования:
по данному закону движения найти мгновенную скорость.
S (t )
v(t )
дифференцирование
S (t ) v(t )

4. Первообразная

Сформулируем обратную задачу:
по данной скорости найти закон движения тела
S (t )
v(t )
интегрирование
Суть задачи:
по данной производной восстановить формулу функции
Новой операции дали название – интегрирование, а
результату операции – первообразная.

5. Первообразная

Первообразные принято обозначать той же
буквой, что и функцию, только заглавной.
Например:
функция f(x), ее первообразная F(x)
функция g(x), ее первообразная G(x)
функция h(x), ее первообразная H(x)
Определение
Функция F(x) является первообразной функции
f(x), если:
F ( x) f ( x)

6. Первообразная

Задача. Является ли функция у=g(x) первообразной для
функции у=f(x)?
f ( x) x 3 , g ( x)
g ( x)
1 4
x
4
1 4
1
( x ) * 4 x 3 x 3 f ( x)
4
4
f ( x) sin x cos x, g ( x) sin x cos x
g ( x) (sin x) (cos x) cos x sin x f ( x)
1
f ( x)
, g ( x) 2 x
x
1
1
g ( x) 2( x ) 2 *
f ( x)
2 x
x
F ( x) g ( x)
F ( x) g ( x)
F ( x) g ( x)

7. Основное свойство первообразных

Проблема: единственность первообразной?
f ( x) x 3 , g1 ( x)
1 4
1
1
x , g 2 ( x) x 4 7, g 3 ( x) x 4 12
4
4
4
1
1
g1 ( x) ( x 4 ) * 4 x 3 x 3 f ( x)
4
4
1
1
g 2 ( x) ( x 4 ) (7) * 4 x 3 0 x 3 f ( x)
4
4
1
1
g 3 ( x) ( x 4 ) (12) * 4 x 3 0 x 3 f ( x)
4
4
g ( x)
1 4
1
( x ) (С ) * 4 x 3 0 x 3 f ( x)
4
4
1 4
F ( x) x C
4

8. Основное свойство первообразных

Если F(х) – одна из первообразных для
функции f(х), то множество всех
первообразных для функции f(х) имеет вид:
F ( x) C , где C const
1
f ( x)
x
F ( x) 2 x С
f ( x) 2 х
2х
F ( x)
С
ln 2

9. Неопределенный интеграл

Множество всех первообразных для
функции f(х) назвали неопределенным
интегралом данной функции:
f ( x) dx F ( x) C
знак
интеграла
дифференциал
функции
формула
функции

10. Неопределенный интеграл

1
f ( x)
x
F ( x) 2 x С
1
dx 2 x C
x
f ( x) 2 х
х
2
х
2 dx ln 2 C
f ( x) x 3
1 4
x dx 4 x C
2х
F ( x)
С
ln 2
F ( x)
1 4
x C
4
3