Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов ЛЕКЦИЯ
Вопросы темы
ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ
Определение
Геометрический смысл первообразной
Теорема
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА
Определение
Свойства неопределенного интеграла
Свойства неопределенного интеграла
Свойства неопределенного интеграла
Свойства неопределенного интеграла
Свойства неопределенного интеграла
ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
НЕКОТОРЫЕ ПОЛЕЗНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ
Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки)
Методы замены переменной
Методы замены переменной
Интегрирование по частям
Сведение интеграла «к самому себе»
Рекуррентные соотношения
«Неберущиеся» интегралы
343.00K
Категория: МатематикаМатематика

Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов

1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов ЛЕКЦИЯ

Тема 6
Первообразная. Неопределенный
интеграл и его свойства. Таблица
основных интегралов
ЛЕКЦИЯ
Калабухова
Галина Валентиновна
кандидат социологических наук, доцент

2. Вопросы темы

Понятие первообразной.
Неопределенный интеграл и его свойства.
Таблица основных интегралов.

3. ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ

4. Определение

Функция F(x) называется первообразной функцией
для функции f(x) на промежутке X, если в каждой
точке этого промежутка
F ( x ) f ( x )

5. Геометрический смысл первообразной

Геометрический смысл производной:
F’(x) – угловой коэффициент
касательной к кривой y=F(x) в точке x.
Геометрически найти первообразную
для f(x), значит, найти такую кривую
F(x), что угловой коэффициент
касательной к ней в произвольной
точке x равен значению f(x) заданной
функции в этой точке
Если найдена одна кривая y=F(x),
удовлетворяющая условию F’(x)=tgα,
то сдвигая ее вдоль оси ординат, мы
получим кривые, отвечающие
указанному условию

6. Теорема

Если F1(x) и F2(x) – первообразные для функции f(x)
на промежутке X, то найдется такое число C, что
будет справедливо равенство
F2 ( x) F1 ( x) C

7. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА

8. Определение

Совокупность всех первообразных для функции f(x)
на промежутке X, называется неопределенным
интегралом от функции f(x)
f ( x)dx F ( x) C
f(x) – подынтегральная функция
f(x)dx – подынтегральное выражение
F(x) – некоторая первообразная для f(x)
C – произвольная константа

9. Свойства неопределенного интеграла

Производная от неопределенного интеграла равна
подынтегральной функции:
f (x)dx
f ( x)

10. Свойства неопределенного интеграла

Дифференциал неопределенного интеграла равен
подынтегральному выражению:
d f ( x) dx f ( x) dx

11. Свойства неопределенного интеграла

Неопределенный интеграл от дифференциала
некоторой функции равен этой функции с точностью
до постоянного слагаемого:
dF ( x) F ( x) C

12. Свойства неопределенного интеграла

Постоянный множитель можно выносить за знак
интеграла:
f ( x)dx f ( x)dx

13. Свойства неопределенного интеграла

Интеграл от алгебраической суммы двух функций
равен такой же сумме интегралов от этих функций:
( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx

14. ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

15.

x n 1
x dx n 1 c n 1
dx
x ln x c
n
dx
x
x
arcsin c arccos c
a
a
a2 x2
ax
a dx ln a c
x
e dx e
x
x
c
dx
x
ln
tg
c
sin x
2
dx
x
ln
tg
c
cos x
2 4
dx
1
x
arctg
c
x2 a2 a
a
sin xdx cos x c
shxdx chx c
dx
1
x a
ln
x 2 a 2 2a x a c
cos xdx sin x c
chx shx c
dx
1
a x
ln
a 2 x 2 2a a x c
dx
cos 2 x tgx c
dx
ch 2 x thx c
dx
sin 2 x ctgx c
dx
sh 2 x cthx c
dx
x2 a
ln | x x 2 a | c

16. НЕКОТОРЫЕ ПОЛЕЗНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ

17.

Если
f (x)dx F (x) C
f (x b)dx F (x b) C
1
f ( ax) dx F ( ax) C
a
1
f (b ax) dx F ( ax b) C
a
, то:

18. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ

19. Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки)

Пусть f ( x )dx F ( x ) C
тогда:
,
f (t( x))t ( x)dx F (t( x)) C
где t(x) - дифференцируемая монотонная функция

20. Методы замены переменной

1.
Если в подынтегральной функции удаётся сразу
заметить оба сомножителя, и f(t(x)), и t’(x), то
замена переменной осуществляется подведением
множителя t’(x) под знак дифференциала:
t’(x)dx = dt, и задача сводится к вычислению
интеграла f (t )dt

21. Методы замены переменной

2.
Замену переменной можно осуществлять
формальным сведением подынтегрального
выражения к новой переменной

22. Интегрирование по частям

Пусть u(x) и v(x) - функции, имеющие непрерывные
частные производные.
Тогда по формуле дифференцирования
произведения
d(uv) = u∙dv + v∙du → u∙dv = d(uv) - v∙du.
Находим неопределённые интегралы для обеих
частей этого равенства (при этом d (uv ) uv C ):
u dv uv v du
Или:
u v dx uv v u dx

23. Сведение интеграла «к самому себе»

С помощью интегрирования по частям (возможно,
неоднократного) интеграл выражается через такой
же интеграл; в результате получается уравнение
относительно этого интеграла, решая которое,
находим значение интеграла

24. Рекуррентные соотношения

Если подынтегральная функция зависит от
некоторого параметра n, и получено соотношение,
которое выражает интеграл через аналогичный
интеграл с меньшим значением n, то это
соотношение и называется рекуррентным
соотношением

25. «Неберущиеся» интегралы

Производная элементарной функции
также является элементарной функцией.
При нахождении первообразной
существуют функции, первообразные для
которых элементарными функциями не
являются.
Соответствующие интегралы
называются неберущимися в
элементарных функциях, в сами
функции – неинтегрируемыми в
конечном виде
e dx
sin x dx
cos x dx
x2
2
2
sin x
x dx
cos x
x dx
dx
ln x
English     Русский Правила