Производная функции. Дифференциал. Лекция 2

1. Производная функции. Дифференциал

2. Изменение функции

Пусть на интервале (a,b)
задана функция f(x).
Назовем приращением
аргумента разность:
а приращением функции –
разность:

3. Понятие производной

Пусть на интервале (a,b) задана функция f(x), и пусть x0 –
некоторая точка интервала (a,b).
Производной функции в точке x0 называется предел:

4. Понятие производной

Функция, имеющая производную в некоторой точке (на
некотором интервале), называется дифференцируемой в
этой точке (на некотором интервале).
Если ввести понятие приращения аргумента, то формула
может быть записана в виде:

5. Понятие производной

Обозначения производной:
Операция вычисления производной называется
дифференцированием.

6. Производные элементарных функций

7. Правила дифференцирования

1) Производная суммы функций равна сумме
производных:
2) Постоянный множитель можно выносить за знак
производной:

8. Правила дифференцирования

3) Производная произведения функций:
4) Производная отношения двух функций:
5) Производная сложной функции (цепное правило):

9. Производные высоких порядков

Результат дифференцирования – это функция; если
существует производная у функции, полученной в
результате дифференцирования, то такая производная
называется второй производной:
По аналогии определяются производные более высоких
порядков.

10. Физический смысл производной

Первая производная координаты по времени – скорость
тела:
Вторая производная координаты по времени – ускорение:
Производная выражает скорость/быстроту изменения той
или иной величины в зависимости от другой.

11. Дифференциал функции

Если функция имеет в точке x0 производную, то
произведение:
называется дифференциалом функции f(x) в точке x0.
Дифференциалом независимой переменной называется
выражение:

12. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям

Для дифференцируемой в точке x0 функции f(x), у которой
f‘(x)≠0, при достаточно малых Δx справедливо: