Функция, её свойства и графики

1. Функция, её свойства и графики

2. Содержание

• Определение
• Виды функций
• Свойства функций
• Задание 1
• Задание 2
• Тест

3. Определение

Функция – зависимость одной переменной
от другой, причем для любых значений х
соответствует единственное значение
функции y.
График функции – множество всех точек
координатной плоскости, абсциссы которых
равны значениям аргумента, а ординаты
соответствующим значениям функции.

4. Виды функций

• Линейная
• Прямая пропорциональность
• Обратная пропорциональность
• Квадратичная
• Квадратный корень
• Модуль
• Другие функции

5. Свойства функций

1. Область определения функции
2. Множество значений функции
3. Монотонность
4. Четность
5. Ограниченность
6. Наибольшее, наименьшее значение
7. Точки экстремума
8. Выпуклость
9. Пересечение с осями координат
10. Промежутки знакопостоянства

6. Задание 1

• Изобразите схематически графики функций
y 2x 1
y x
y 3x
y x
4
y
x
y x
2

7. Пример

у = 2х +1
х 0 1
у 1 3
у
1
х

8. Пример

у = 3х
х 0
у 0
у
1
3
0
1
х

9. Пример

4
у= x
х 4 2 1 -4 -2 -1
у 1 2 4 -1 -2 -4
у
0
1
х

10. Пример

у = х2
х -2 -1 0 1 2
у 4 1 0 1 4
у
0
1
х

11. Пример

y x
х 0 4 9
у 0 2 3
у
0
1
х

12. Пример

y=|x|
х 0 3 -3
у 0 3 -3
у
0
1
х

13. Задание 2

• Исследовать график функции
3
2
1
1
2
3

14. Тест

1. Найдите область определения функции
y 4 2x
а)
а)
б)
б)
в)
в)
г)
г)
x 2
x 2
x 2
x 2
1
x 1
x 2
2
x 2
x 2
а)
а)
б)
б)
в)
в)
г)
г)
x 2
x 2
x 2
x 2
1
x 1
x 2
x 22
x 2

15.

2. Исследуйте на ограниченность функцию
y 2x 3x 1
2
а) ограничена сверху
б) ограничена снизу
в) ограничена снизу и сверху
г) не ограничена ни снизу, ни сверху

16.

3. Среди заданных функций укажите
1) yвозрастающие
2x
2
1)
2)
3)
y 2x
y 5x 1
y 3 x
4)
y x
2
а) 2, 4
б) 1, 2, 4
2)
3)
y 5x 1
y 3 x
4)
y x
в) 3
г) 1, 2

17.

1) y убывающие
x
4. Среди заданных функций укажите
2
1)
2)
3)
y x2
y 2x 3
y 4 x
4)
y x
а) 1, 3
б) 3
2)
3)
y 2x 3
y 4 x
4)
y x
в) 3, 4
г) 1

18.

1)
y 2x
2)
3)
y x
y 5x
4)
y x
2
5. Среди заданных функций укажите четные
1)
y 2x
2)
3)
y x
y 5x
а) 1, 3 y x
4)
б) 1, 2
2
в) 3, 4
г) 1, 4

19. 6. Среди заданных функций укажите нечетные

y 2x
6. Среди заданных функций укажите нечетные
3
2)
y
x
1)
y 2x 2
3)
y 5x
2
1)
2)
3)
3
y
x
y 5x
4)
а) 1, 3y x
б) 2, 4
4)
y x
в) 2, 3
г) 3, 4

20. 7. Найдите множество значений функций

y 4 x
а)
а)
б)
б)
в)
в)
г)
г)
;4;4
;4;4
0;4
0;4
4;
4;
а)
а)
б)
б)
в)
в)
г)
г)
2
;4;4
;4;4
0;4
0;4
4;4;

21. Верно

22. Не верно

23. Линейная функция y=kх+m (k>0)

Линейная функция y=kх+m (k>0)
График функции - прямая
1
Свойства функции
1. D(f)=(- ;+ )
2. Функция не является ни
четной, ни нечетной
3. Возрастает
4. Не ограничена ни снизу,
ни сверху
5. Нет ни наибольшего, ни
наименьшего значений
6. Функция непрерывна
7. Е(f)= ( ;+ )

24. Линейная функция y=kx+m (k<0)

Линейная функция y=kx+m (k<0)
Свойства функции
1. D(f)=(- ;+ )
2. Функция не является ни
четной, ни нечетной
3. Убывает
4. Не ограничена ни снизу, ни
сверху
5. Нет ни наибольшего, ни
наименьшего значений
6. Функция непрерывна
7. Е(f)= ( ;+ )
График функции - прямая
1

25. Прямая пропорциональность y=kx (k>0)

Прямая пропорциональность
y=kx (k>0)
График функции - прямая
1
k1 > k2 > k 3
Свойства функции
1. D(f)=(- ;+ )
2. Функция является
нечетной
3. Возрастает
4. Не ограничена ни снизу,
ни сверху
5. Нет ни наибольшего, ни
наименьшего значений
6. Функция непрерывна
7. Е(f)= ( ;+ )

26. Прямая пропорциональность y=kx (k<0)

Прямая пропорциональность
y=kx (k<0)
Свойства функции
1. D(f)=(- ;+ )
2. Функция является
нечетной
3. Убывает
4. Не ограничена ни снизу,
ни сверху
5. Нет ни наибольшего, ни
наименьшего значений
6. Функция непрерывна
7. Е(f)= ( ;+ )
График функции - прямая
1

27. Обратная пропорциональность (k>0)

Обратная пропорциональность
k
y
(k>0)
x
Свойства функции
График функции - гипербола
1
D(f)=(- ;0)U(0;+ )
Нечётная
Убывает на открытом луче
(- ;0), и на открытом луче
(0;+ )
Не ограничена ни снизу, ни
сверху
yнаим, yнаиб не существует
Непрерывна на открытом луче
(- ;0), и на открытом луче
(0;+ )
E(f )=(- ;0)U(0;+ )
Выпукла вниз при x>0, выпукла
вверх при x<0

28. Обратная пропорциональность (k<0)

Обратная пропорциональность
k
y
(k<0)
x
Свойства функции
D(f)=(- ;0)U(0;+ )
Нечётная
Возрастает на открытом луче
(- ;0), и на открытом луче (0;+ )
Не ограничена ни снизу, ни
сверху
yнаим, yнаиб не существует
Непрерывна на открытом луче
(- ;0), и на открытом луче (0;+ )
E(f )=(- ;0)U(0;+ )
Выпукла вверх при x>0, выпукла
вниз при x<0
График функции - гипербола
1

29. Квадратичная функция y=kx2 (k>0)

Квадратичная функция
y=kx2 (k>0)
График функции - парабола
Свойства функции
y x2
y 2x 2
y x2
y
1 2
x
2
D(f)=(- ;+ )
Чётная
Убывает на луче (- ;0],
возрастает на луче
[0;+ )
Ограничена снизу, не
ограничена сверху
yнаим=0, yнаиб не
существует
Непрерывна
E(f)=[0;+ )
Выпукла вниз

30. Квадратичная функция y=kx2 (k<0)

Квадратичная функция
y=kx2 (k<0)
Свойства функции
График функции - парабола
D(f)=(- ;+ )
Чётная
Убывает на луче [0;+ ),
возрастает на луче (- ;0]
Ограничена сверху, не
ограничена снизу
yнаиб=0, yнаим не
существует
Непрерывна
E(f)=(- ;0]
Выпукла вверх
y 2x 2
y x2
y
1 2
x
2

31. Квадратичная функция y=ax2+bx+c (a>0)

Квадратичная функция
y=ax2+bx+c (a>0)
График функции - парабола
Свойства функции
1. D(f)=(- ;+ )
2. Убывает на луче (- ; в ],
2а
возрастает на луче [ 2ва; + )
3. Ограничена снизу, не
ограничена сверху
4. yнаим= y0 , yнаиб – не существует
5. Непрерывна
1
6. E(f)=[y0 ;+ )
7. Выпукла вниз

32. Квадратичная функция y=ax2+bx+c (a<0)

Квадратичная функция
y=ax2+bx+c (a<0)
Свойства функции
График функции - парабола
1. D(f)=(- ;+ )
в
2. Возрастает на луче (- ; 2а ],
убывает на луче [ 2ва ;+ )
3. Ограничена сверху, не
ограничена снизу
4. yнаиб= y0, yнаим – не существует
5. Непрерывна
6. E(f)=(- ; y0]
7. Выпукла вверх
1

33. Квадратный корень

y x
График функции – ветвь
параболы в первой четверти
Свойства функции
1. D(f)=[0;+ )
2. Не является ни четной,
ни нечетной
3. Возрастает на луче
[0;+ )
4. Ограничена снизу, не
ограничена сверху
5. yнаим=0, yнаиб не
существует
6. Непрерывна
7. E(f)=[0;+ )
8. Выпукла вверх

34. Модуль y=|x|

Свойства функции
1. D(f)=(- ;+ )
2. Чётная
3. Убывает на луче (- ;0],
возрастает на луче
[0;+ )
4. Ограничена снизу, не
ограничена сверху
5. yнаим=0, yнаиб не
существует
6. Непрерывна
7. E(f)=[0;+ )
8. Функцию можно считать
выпуклой вниз

35. Функция y=x2n+1 (n N)

Свойства функции
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
D(f)=(- ;+ )
Нечётная
Возрастает
Не ограничена ни снизу, ни
сверху
yнаим, yнаиб не существует
Непрерывна
E(f )=(- ;+ )
Выпукла вверх при x<0
Выпукла вниз при x>0
График функции кубическая парабола

36. Функция y=x-(2n+1)

Свойства функции
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
D(f)=(- ;0)U(0;+ )
Нечётная
Убывает на открытом луче
(- ;0), и на открытом луче
(0;+ )
Не ограничена ни снизу, ни
сверху
yнаим, yнаиб не существует
Непрерывна на открытом
луче (- ;0), и на открытом
луче (0;+ )
E(f )=(- ;0)U(0;+ )
Выпукла вниз при x>0,
выпукла вверх при x<0
График функции - гипербола
1

37. Функция y=x-2n

Свойства функции
График функции - гипербола
1.
2.
3.
4.
1
5.
6.
7.
8.
D(f)=(- ;0)U(0;+ )
Чётная
Возрастает на открытом луче
(- ;0), и убывает на открытом
луче (0;+ )
Ограничена снизу, не
ограничена сверху
yнаим, yнаиб не существует
Непрерывна на открытом луче ( ;0), и на открытом луче (0;+ )
E(f )=(0;+ )
Выпукла вниз при x<0 и при x>0

38. Функция y=x2n (n N)

График функции - парабола
Свойства функции
1. D(f)=(- ;+ )
2. Чётная
3. Убывает на луче (- ;0],
возрастает на луче
[0;+ )
4. Ограничена снизу, не
ограничена сверху
5. yнаим=0, yнаиб не
существует
6. Непрерывна
7. E(f)=[0;+ )
8. Выпукла вниз