Признаки подобия треугольников

1.

2.

Два треугольника называются подобными, если их углы
соответственно равны и стороны одного треугольника
соответственно пропорциональны сходственным
сторонам другого.
А А1 , В В1 , С С1
В
АВ
ВС
АС
А1 В1 В1С1 А1С1
В1
А
С
А1
С1

3.

Число k, равное отношению сходственных сторон
подобных треугольников, называется коэффициентом
подобия.
АВ
ВС
АС
А1 В1 В1С1 А1С1
=k
ABC
A1B1C1
В1
В
А
С
А1
С1

4.

Отношение площадей двух подобных треугольников
равно квадрату коэффициента подобия.
Дано: ABC
A1B1C1
В
А
ЗНАЧИТ:
С
k – коэффициент подобия
В1
С1
А1
S ABC
2
k
S A1B1C1
Отношение периметров двух
подобных треугольников
равно коэффициенту подобия.
ЗНАЧИТ:
РABC
k
РA1B1C1

5.

№ 541
Доказать:
А Е
EFD
22,8
F
B D
C F
D
400
А
340
13,2
1060
4,4
400
С
ABC
5,2
1060
340
7,6
15,6
E
В
5,2
7 ,6
4,4
13,2 15,6 22,8
Верно

6.

Блиц-опрос
Дано:
ABC
А1В1С1
Найдите: х, у, z.
А1 В1
2
АВ
В
В1
7см
6см
12см
х
А
8см
14см
у
С
А1
16см
z
С1

7.

Найти неизвестные стороны и углы подобных треугольников.
Дано:
ABC
А1В1С1
В
В1
4
А
700
10
430
670
12
А1
С
6
15
670
18
С1

8.

Блиц-опрос
Дано:
ABC
А1В1С1
Найдите: х, у, z.
А1 В1
2
АВ
В
В1
10,5см
у
9смх
18см
А
12см
z
21см
С
А1
24см
С1

9.

Блиц-опрос
Дано:
ABC
А1В1С1
В
Найдите: х, у.
В1
6см
7см
21см
х
18см
А
8см
С
А1
у
24см
С1

10.

Блиц-опрос
Дано:
ABC
А1В1С1
Найдите: х, у.
В1
В
6см
х
12см
7см
у
А
14см
8см
С
А1
16см
С1

11.

Блиц-опрос
Дано:
ABC
А1В1С1
Найдите: х, у.
В1
В
6см
А
х
7см
8см
С
12см
А1
14см
у
16см
С1

12.

Блиц-опрос
Дано:
ABC
А1В1С1
РА1В1С1 105см
Найдите: х, у,z.
В
В1
6см
7см
РАВС 21см
А
8см
РA1B1C1
РABC
5
35см
y
х
30см
С
А1
z
40см
С1

13.

Повторение
Дано:
ABC
А1В1С1
РА1В1С1 84см
Найдите: х, у,z.
В
В1
6см
7см
РАВС 21см
А
8см
РA1B1C1
РABC
4
28см
y
х
24см
С
А1
z
32см
С1

14.

Доказать:
ABC
NMF
В М
4
6
8
16
24 32
А N
C F
В
N
810
4
А
Верно
32
390
F
600
6
390
600
8
24
16
С
810
М

15.

I
признак подобия треугольников. Если два угла одного
треугольника соответственно равны двум углам другого,
то такие треугольники подобны.
С
Дано: ABC,
А1В1С1, А А1 , В В1,
ЗНАЧИТ:
А
А1
В
С1
В1
ABC
А1В1С1

16.

3).
С
А
А А1 ,
AB AC
S ABC
A1 B1 A1C1
S A1B1C1
В В1 ,
ВA CВ
S ABC
S A1B1C1 В1 А1 С1 В1
AB AC
ВА СВ
A1 B1 A1C1 В1 А1 С1 В1
В
С1
AС
СВ
A1С1 С1 В1
А1
В1

17.

Блиц-опрос
Докажите подобие треугольников.
Запишите равенство отношений
соответствующих сторон.
В W , А P
ABC PWM
по 1 признаку
А
АВ BC AC
WP WM MP
W
M
350
650
800
В
350
650
С
800
P

18.

Блиц-опрос
Докажите подобие треугольников.
Запишите равенство отношений
соответствующих сторон.
АВ
AC BC
EF
DE DF
В F , C D
ABC EFD по 1 признаку
E
А
600
В
600
300
С
300
D
F

19.

Блиц-опрос
В В1,
ABC
Докажите подобие треугольников.
Запишите равенство отношений
соответствующих сторон.
А А1
A1B1C1 по 1 признаку
B
B1
300
300
750
750
A
BC AВ
АС
А1С1 В1С1 А1 В1
A1
750
С
750
С1

20.

Блиц-опрос
Докажите подобие треугольников.
Запишите равенство отношений
соответствующих сторон.
В N , А M
ABC MNP по 1 признаку
AC
MP
AB
=
MN
B
400
400
N
A
700 1100
С
M
700
700
P
=
PN
BC

21.

Блиц-опрос
АВСD – трапеция. Найдите пары подобных
треугольников и докажите их подобие.
ВОС АОD ,
AОD
OAD OCB
COD по 1 признаку
Запишите равенство отношений
соответствующих сторон.
С
B
BC
AD
O
A
D
OB
=
OD
=
AO
OC

22.

Блиц-опрос
АВСD – трапеция. Найдите пары подобных
треугольников и докажите их подобие.
В АСD,
ACD
ВСА CAD
CBA по 1 признаку
Запишите равенство отношений
соответствующих сторон.
B
С
BA
CD
A
D
AC
=
AD
=
BC
AC

23.

Блиц-опрос
АВСD – параллелограмм. Найдите пары
подобных треугольников и докажите их подобие.
Найти ВС.
А С ,
ABK CBE
по 1 признаку
ВКА ВЕС
Запишите равенство отношений
соответствующих сторон.
С
B
CB
Е
6 К
BK
=
BE
9
10
A
BA
1
D
10
CB
6
=
9
=
AK
CE

24.

Блиц-опрос
Найдите пары подобных треугольников и
докажите их подобие. Найти АВ.
АЕF C
А общий,
АЕF
ACB
по 1 признаку
Запишите равенство отношений
соответствующих сторон.
B
EF
BC
E
10
12
6
A
F
20
C
AF
=
AB
=
AE
AC

25.

Блиц-опрос
BC II AD. Найдите пары подобных
треугольников и докажите их подобие.
ВОС АОD ,
COB
С
B
ВСО ОАD
AOD
Запишите равенство отношений
соответствующих сторон.
BC
O
A
AD
D
BO
=
OD
=
OC
OA

26.

Блиц-опрос
AC II DP. Найдите пары подобных
треугольников и докажите их подобие.
В общий,
B
ВDP BAC
BDP
BAC по 1 признаку
Запишите равенство отношений
соответствующих сторон.
DP
D
A
AC
P
C
BP
=
BC
=
BD
BA

27.

Блиц-опрос
Найдите пары подобных
треугольников и докажите их подобие.
А общий,
ABD
АСВ АВD
ACB
Запишите равенство отношений
соответствующих сторон.
по 1 признаку
C
500
D
BC
BD
500
A
B
AB
=
AD
=
AC
AB

28.

Блиц-опрос
MNPQ – прямоугольник. Найдите пары
подобных треугольников и докажите их подобие.
В общий, А ВNP
NBP
ABC
по 1 признку
B
Запишите равенство отношений
соответствующих сторон.
N
P
NP
AC
A
M
Q
C
BP
=
BC
=
NB
AB

29.

Блиц-опрос
Найдите пары подобных
треугольников и докажите их подобие.
С общий ,
BCD
ACB
САВ СВD
Запишите равенство отношений
соответствующих сторон.
по 1 признаку
C
D
A
B
BC
CD
AB
=
BD
=
AC
CB

30.

Блиц-опрос
AMNP – параллелограмм. Найдите пары
подобных треугольников и докажите их подобие.
B
M
A
N
P
MBN
ABC
PNC
ABC
MBN
PNC
C

31.

Блиц-опрос
КЕ II PF II AB. Найдите пары подобных
треугольников и докажите их подобие.
B
К
F
A
E
P
СPF
CEK
СPF
CAB
СEK
CAB
C

32.

Блиц-опрос
Сколько пар подобных треугольников можно найти?
B
D
A
DCA
ACB
DBA
ABC
DCA
DAB
C

33.

Найдите пары подобных
треугольников и докажите их подобие.
E B 60 ,
0
D A 600 ,
E
3см
D
3см
3см
B
DEF
F
A
по 1 признаку
5см
5см
5см
ABC
C

34.

Найдите пары подобных
треугольников и докажите их подобие.
B
M
300
L C ,
М В ,
300
KML
ABC
по 1 признаку
C
L
K
600
A

35.

№ 550
Найдите x.
С
АВС
А M
АВС MBN
по 1 признаку
Запишите равенство отношений соответствующих
сторон.
ВС
BN
АС
=
BМ
=
АВ
MN
12
8
;
=
6
N
8
A
MNB
12
В
6
х
М
x

36.

№ 550
Найдите x.
В общий,
BMN
А BMN
С
по 1 признаку
Запишите равенство отношений
соответствующих сторон.
MN
AC
у
BN
=
N
10
A
BAC
20
М
28
8
В
BC
=
BM
BA

37.

АВСD – параллелограмм. Найдите EF, CF.
№ 551(а)
СEF DEA
С D,
ECF
EDA
по 1 признаку
Запишите равенство отношений
соответствующих сторон.
B
7
4
E
10
8
A
х
C
D
F
у
EC
ED
4
8
CF
=
AD
=
7
AE
у
x
=
EF
=
10

38.

АВСD – параллелограмм. Найдите EС, ED.
№ 551(б)
СEF DEA
С D,
ECF
EDA
по 1 признаку
Запишите равенство отношений
соответствующих сторон.
B
C
2
F
х
8
E
8-х
A
5
D
EC
ED
x
8-x
CF
=
AD
2
=
5
=
EF
AE

39.

В треугольнике АВС
А BMN
В общий,
Найдите x.
AC II MN.
BMN
BAC
по 1 признаку
B
Запишите равенство отношений
соответствующих сторон.
х
16м
16
MN
М
AC
N
BN
=
BC
=
3м
3
3
12
A
12м
12
C
x
=
16
BM
BA

40.

В треугольнике АВС
В общий,
А BMN
BMN
BAC
по 1 признаку
B
20дм
20
Найдите x.
AC II MN.
Запишите равенство отношений
соответствующих сторон.
20-х
М
N
MN
2дм
2
AC
BN
=
BC
=
BM
BA
х
2
10
A
10дм
10
C
20-x
=
20

41.

В треугольнике АВС
В общий,
Найдите x.
AC II MN.
А BMN
BMN
BAC
по 1 признаку
B
Запишите равенство отношений
соответствующих сторон.
х
5
М
4дм
4
N
MN
AC
BN
=
4
12
A
12дм
12
C
BC
=
5
=
х
BM
BA

42.

В треугольнике АВС
А BMN
В общий,
Найдите x.
AC II MN.
BMN
BAC
по 1 признаку
B
Запишите равенство отношений
соответствующих сторон.
4
12 М
N
х
MN
AC
BN
=
х
15
A
15
C
BC
=
4
=
12
BM
BA

43.

В треугольнике АВС
В общий,
А BMN
BMN
BAC
по 1 признаку
B
15
15м
Запишите равенство отношений
соответствующих сторон.
20
М
N
х
MN
AC
BN
=
15
15дм
15
BC
=
5м
х
A
Найдите x.
AC II MN.
C
15
=
20
BM
BA

44.

В треугольнике АВС
А BMN
В общий,
Найдите x.
AC II MN.
BMN
BAC
по 1 признаку
B
Запишите равенство отношений
соответствующих сторон.
8
М
6м
6
N
12м
12
MN
AC
BN
=
BC
=
4м
6
A
х
х
C
8
=
12
BM
BA

45.

В треугольнике АВС
С BNM
В общий,
BMN
Запишите равенство отношений
соответствующих сторон.
12см
12
9см
9
N
MN
AC
М
18см
18
BAC
по 1 признаку
C
A
Найдите x.
AC II MN.
BN
=
9
х
12
B
BC
=
x
=
18
BM
BA

46.

В треугольнике АВС
А BMN
В общий,
BMN
M
Запишите равенство отношений
соответствующих сторон.
16дм
16
MN
х
C
BAC
по 1 признаку
A
N
Найдите x.
AC II MN.
AC
5дм
5
B
BN
=
x
16
8дм
8
BC
=
5
=
8
BM
BA

47.

В треугольнике АВС
В общий,
Найдите x.
AC II MN.
А BMN
BMN
BAC
по 1 признаку
A
Запишите равенство отношений
соответствующих сторон.
M
x
MN
10cм
10
4
AC
5cм
5
BN
=
4
C
N
B
10
BC
=
5
=
x
BM
BA

48.

В треугольнике АВС
AC II MN.
А BMN
В общий,
BMN
BAC
по 1 признаку
B
Запишите равенство отношений
соответствующих сторон.
y
y+3
Найдите x.
3
М
N
5
х
MN
AC
BN
=
BC
=
3
2
x
10
A
10
C
3
=
5
BM
BA

49.

В треугольнике АВС
AC II MN.
А BMN
В общий,
BMN
Запишите равенство отношений
соответствующих сторон.
y
х
М
N х+3 MN
4
2
AC
BN
=
BC
3
4
12
A
12
BAC
по 1 признаку
B
y+2
Найдите x.
C
=
BM
BA
х
=
х+3

50.

В треугольнике АВС
В общий,
Найдите x.
AC II MN.
А BMN
BMN
BAC
по 1 признаку
A
х
Запишите равенство отношений
соответствующих сторон.
C
y
MN
y+3
М
1
5
3
N
4
B
AC
5
5
х
BN
=
BC
4
=
5
=
BM
BA

51.

MP II NQ II AC,
Найдите:
BM : MN : NA = m : n : p
BP : PQ : QC
С
Q
P
A
N
M
В

52.

ADEF – параллелограмм.
AB=20см, АС=25см, AD : DE = 6 : 5
Найдите AD и DE.
MBN
по 1 признаку
B
20-6х
20
D
DE
5х
E
AC
6х
A
C
F
25
ABC
BD
=
BA
=
BE
BC

53.

ADСD – параллелограмм. BE : EC = 7 : 5
AB=105см.
Найдите BF.
ЕFB EDC
F
по 1 признаку
x
ВE
B
Е
С
105
A
D
ЕC
BF
=
DC
=
FE
ED

54.

ADСD – параллелограмм. AE : EC = 77 : 55
AB=15см.
Найдите BF.
ЕFB EDC
F
по 1 признаку
x
AE
x+15
15
A
B
K
С
Е
D
EC
AF
=
DC
=
FE
ED

55.

Найдите пары подобных
треугольников и докажите их подобие.
B
C
N
Т
A

56.

Блиц-опрос
BC II AD. Найдите пары подобных
треугольников и докажите их подобие.
ВОС АОD ,
COB
x
AOD по 1 признаку подобия
Запишите равенство отношений
соответствующих сторон.
С
B
ВСО ОАD
4
BC
O
12
AD
BO
=
21
x
21
A
OD
=
D
4
=
12
OC
OA

57.

Блиц-опрос
Трапеция АDPC. Найдите пары подобных
треугольников и докажите их подобие.
В общий,
B
BDP А
BDP BAC по 1 признаку
Запишите равенство отношений
соответствующих сторон.
8
DP
AC
12
D
=
BC
=
P
x
x
4
A
BP
21
21
C
8
=
12
BD
BA

58.

II
признак подобия треугольников. Если две стороны
одного треугольника пропорциональны двум сторонам
другого треугольника и углы, заключенные между этими
сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
АВ
АС
Дано: ABC, А1В1С1, А А1 ,
А1 В1 А1С1
ЗНАЧИТ:
ABC
С1
А1
А1В1С1
С
В1
А
В

59.

Блиц-опрос
Найдите пары подобных
треугольников и докажите их подобие.
Е В,
Е
B
400
400
4см
8
3,5см
8см
F
4
7см
К
A
С
3,5
=
7
FEK
Верно
AВС
по 2 признаку

60.

Блиц-опрос
Найдите пары подобных
треугольников и докажите их подобие.
В Q ,
В
Q
5
400
400
3см
5см
3см
С
=
3
ABC
5см
Верно
PQR
по 2 признаку
Р
А
3
5
R

61.

Блиц-опрос
Найдите пары подобных
треугольников и докажите их подобие.
М В ,
B
M
=
10
400
400
5
5
KML
10см
5см
10
Верно
ABC
по 2 признаку
10см
5см
700
L
K
A
C

62.

Блиц-опрос
Найдите пары подобных
треугольников и докажите их подобие.
L C ,
B
6
M
3
8см
4см
8
=
4
KML
10см
Верно
ABC
по 2 признаку
C
L
3см
6см
K
A

63.

Найдите пары подобных
треугольников и докажите их подобие.
B
69
L C ,
3
C
69
M
115см
92см
4см
5см
L
3
K
A
4
=
92
KML
Верно
ABC
по 2 признаку

64.

Блиц-опрос Найдите пары подобных треугольников и
докажите их подобие.
5
3
Верно
=
В общий
20
12
AВС
B
РВD по 2 признаку
Найти
3
5
12
D
A
P
20
S DBP 1
;
SCBA 16
C
РDBP 1
РCBA 4

65.

Блиц-опрос Найдите пары подобных треугольников и
докажите их подобие.
5
4
Верно
=
ВОС АОD ,
15
12
AОD
?
7
B
4
COD по 2 признаку
С
5
O
15
A
12
21
D

66.

Площадь треугольника МОС на 8 см2 меньше площади x-8
треугольника КОР. xНайти площадь треугольника ОКР,
если КО=15см, ОР=12см, ОМ=5см, ОС=4см.
5
4
M
Верно
MOC KOP,
=
15
12
MCO
5
C
PKO
по 2 признаку
О
15
K
4
Запишите теорему об
отношении площадей
подобных треугольников
2
12
SMCO
SKPO
P
SMCO
= k2
SKPO
x-8
x
1
=
9
=
MO
OK

67.

III
признак подобия треугольников. Если три стороны
одного треугольника пропорциональны трем сторонам
другого, то такие треугольники подобны.
Дано: ABC,
ЗНАЧИТ:
А1В1С1,
ABC
АВ
ВС
АС
А1 В1 В1С1 А1С1
А1В1С1
С
С1
А1
В1 А
В

68.

Блиц-опрос
Найдите пары подобных
треугольников и докажите их подобие.
3
3
=
5
5
3
=
D
3см
3см
B
F
A
5см
ABC
Докажите по 1 признаку подобия,
по 2 признаку.
5см
5см
DEF
по 3 признаку
5
E
3см
Верно
C

69.

Блиц-опрос
Найдите пары подобных
треугольников и докажите их подобие.
6
4
9
=
6
12
=
Верно
D
4см
6см
F
A
B
12см
9см
ABC
по 3 признаку
8
E
8см
DEF
6см
C

70.

Блиц-опрос
Найдите пары подобных
треугольников и докажите их подобие.
4
8
B
4
=
8
3
=
6
Верно
KML
M
ABC
по 3 признаку
8см
4см
C
L
3см
6см
K
A

71.

Блиц-опрос
Доказать: КМ II BL
7
B
14
5
=
10
3
=
6
KMA
10
Верно
LBC
по 3 признаку
14
M
C
5
6
7
L
A
3
K
S AMK 1
;
S CBL 4
Найти
РAMK 1
РCBL 2

72.

Найдите пары подобных треугольников и
докажите их подобие. Найдите угол ВАD.
91
14
10
3
Верно
=
=
14
21
15
АСD
B
10
91
3
A
по 3 признаку
С
800
14
15
550
21
ABC
D

73.

В треугольниках АВС и DNK известны стороны.
SDNK=36cм
36 2. Найдите площадь треугольника АВС. x
С
6
9
9см
12см
А
В
12
=
DNK
9
=
по 3 признаку
13,5
18
Верно
Запишите теорему об отношении
площадей подобных треугольников
SABC
6
6см
18см
К
N
SDNK
= k2
2
SABC
SDNK
13,5см
9
9см
x
D
ABC
36
4
=
9
=
AB
DN