Векторні величини. Метод координат

1. Тема 2. Векторна алгебра

Лекція 5.
Векторні величини.
Метод координат.

2. План

Лінійні операції над векторами
Проекція вектора на вісь
Лінійна залежність та
незалежність векторів
Метод координат

3.

Вектор – це впорядкована пара точок.
В
А
компланарні
колінеарні
рівні
Відстань між початком і кінцем вектора
називається його довжиною, або модулем.

4. Лінійні операції над векторами

Добуток
вектора на
число
Сума двох
векторів
Правило
паралелограма
Різниця двох
векторів
Правило
трикутника

5.

Добутком вектора a на число m називається вектор,
який має напрямок вектора a , якщо m 0 , і
протилежний напрямок, якщо m від’ємне.
a
2a
1
a
2

6.

Сумою двох векторів a і b називається такий третій вектор
c , який виходить із їх спільного початку і є діагоналлю
паралелограма, сторонами якого є вектори a і b
А
a
0
С
c
b
В
a
b
s
s a b

7. Властивості:

a b b a
- комутативність;
- асоціативність;
a b c a b c
m a b ma mb дистрибутивність по відношенню до
множення на число
m n a ma na

8.

Різницею двох векторів a і b називають такий
вектор d , який при додаванні до вектора b дає
вектор a . Тобто a b d якщо b d a .
b
a
a b
b
В
a
a c a b
А
b
С
с
d
d a b
D

9. Проекція вектора на вісь

Проекцією вектора AB на вісь називається довжина
відрізка ab цієї осі, що міститься між основами проекцій
початку і кінця вектора AB на вісь .
В
А
a
b
npe
AB AB cos

10. Властивості :

рівні вектори мають рівні проекції;
при множенні вектора AB на число m
його проекція на вісь також множиться на
це ж саме число;
проекція суми двох векторів на вісь
дорівнює сумі проекцій цих векторів

11. Означення

Система векторів a1 , a 2 ,..., a m називається
лінійно залежною, якщо існують такі сталі
c1 , c 2 ,...,c m , серед яких є хоча б одна відмінна
від нуля, і для яких виконується рівність
c1 a1 c 2 a 2 ... c m a m 0 .

12.

Теорема Якщо система векторів лінійно
залежна, то хоча би один з них можна
представити у вигляді лінійної комбінації
інших.
Теорема (обернена). Якщо один з векторів
даної системи можна представити у вигляді
лінійної комбінації інших, то така система
векторів лінійно залежна.

13. Означення

Система векторів a1 , a 2 ,..., a m називається
лінійно незалежною, якщо рівність
c1 a1 c 2 a 2 ... c m a m 0 виконується тоді і
тільки тоді, коли усі сталі c i дорівнюють нулю
i 1,2,..., m .

14.

Теорема . Довільні два колінеарні вектори
лінійно залежні і, навпаки, два неколінеарних
вектори лінійно незалежні.
Теорема . Три компланарних вектори лінійно
залежні і, навпаки, три некомпланарних
вектори лінійно незалежні.
Теорема . Довільні три ненульові вектори на
площині є лінійно залежними.
Теорема . Довільні чотири вектори у просторі
лінійно залежні.

15.

Базисом на прямій називається будь-який
ненульовий вектор на цій прямій.
Базисом на площині називаються два не
колінеарні вектори зі спільним початком
на цій площині, взяті в певному порядку.
Базисом в просторі називаються
довільні три не компланарні вектори,
які беруться в певній послідовності.

16. Теорема

e1 , e2 , e3
Якщо вектори
утворюють
базис в просторі, то будь-який
вектор a цього простору може
бути представлений до того ж
єдиним
чином,
як
лінійна
комбінація векторів базису.
a 1e1 2 e2 3 e3 .

17. Теорема

e1
e2
Якщо на площині вектори
та
утворюють базис, то будь-який з
ними компланарний вектор a можна
представити і при тому єдиним
чином як лінійну комбінацію
векторів базису.
a 1e1 2 e2 .

18. Означення

Якщо
e1 , e 2 , e3 -
базис і вектор
a 1e1 2 e2 3 e3 ,
то числа 1 , 2 , 3
називаються координатами вектора
даному базисі.
aв

19. Декартова системи координат

Декартовою системою
координат в просторі називається
сукупність точки
e1 , e2 , e3 .
O
та базису

20.

М
z
Координати радіус-вектора
e3
точки
О
e1
e2
x
M
по відношенню до
початку координат
y
називаються
координатами точки
M
даній системі координат.
у

21. Координати вектора

A x1 , y1 , z1
e3
B x 2 , y 2 , z 2
О
e1
e2
AB x2 x1 , y2 y1 , z2 z1

22.

a
b
Кутом між двома векторами
та
називається найменший кут AOB між цими
векторами, зведеними до спільного початку
O.
В
b
О
С
a
А

23.

Базис називається ортонормованим, якщо
довжина
кожного
базисного
вектора
дорівнює
одиниці
і
вони
попарно
ортогональні.
Декартова система координат з ортонормованим
базисом називається прямокутною системою
координат.

24. Прямокутна декартова система координат на площині та в просторі

Y
Z
M x, y
y
z
M x, y , z
O
j
O
k
X
i
i
O j
x i
i
x
a)
X
y Y
б)

25. Відстань між двома точками

На площині
d ( х 2 x 1 ) ( y 2 y1 ) .
2
2
В просторі
d ( x2 x1 ) ( y 2 y1 ) ( z 2 z1 ) .
2
2
2

26.

a ax , a y , az , b bx , by , bz
2
2
2
a ax a y az
a b ax bx , a y by , az bz .
a a x , a y , az .
Напрямні косинуси
ay
az
ax
cos cos cos
|a|
|a|
|a|

27. Ділення відрізка в заданому відношенні

Та
М1
Якщо M1 ( x1 , y1 , z1 ), M 2 ( x2 , y2 , z 2 ), M ( x, y, z)
M1M MM 2
М
М2
x1 x 2
y1 y 2
z1 z2
x
, y
, z
.
1
1
1

28. Означення

Скалярним
добутком
двох
векторів
a і
b називається число, яке дорівнює
добутку модулів векторів a і b на
косинус кута між ними.

29. Скалярний добуток

b
a
a b | a | | b | cos

30. властивості:

1.
2.
Скалярний добуток
комутативний,
тобто
a b b a .
2
2
0
a a a | a | | a | cos 0 | a | ,
3. Скалярний добуток дорівнює нулю тоді і
тільки тоді, коли співмножники ортогональні
або хоча б один з них дорівнює нулю.

31.

4. Скалярний добуток асоціативний відносно скалярного
множника, тобто
( a )b a ( b ) (a b ) .
5. Скалярний добуток дистрибутивний відносно
додавання, тобто для довільних трьох векторів a , b с
має місце рівність
a (b c ) a b a c .
6. Вектори ортонормованого базису задовольняють
співвідношення
i i j j k k 1,
i j i k j k 0 .

32. Вираз скалярного добутку через координати

Якщо a {a x , a y , a z } b {bx , b y , bz } ,
тоді
a b a x bx a y b y a z bz

33. Застосування: 1. Кут між векторами

a b
cos
| a | |b |
cos
a x bx a y b y a z bz
a x a y a z bx b y bz
2
2
2
2
2
2

34. 2. Умова ортогональності двох векторів

a x bx a y b y a z bz 0

35. 3. Фізичний зміст

якщо матеріальна точка, на яку діє
сила, здійснила переміщення s ,
То робота дорівнює скалярному
добутку сили на переміщення
A F, s

36.

Векторним добутком вектора a на вектор b
називається вектор с , в якого:
1) довжина чисельно дорівнює площі
паралелограма, побудованго на цих векторах;
2) вектор с перпендикулярний
до площини, в якій
лежать вектори
a і b , тобто
c a і c b ;
3) вектор с напрямлений таким чином, щоб
найкоротший поворот від вектора a до b
здійснювався проти годинникової стрілки, якщо
дивитись на нього з кінця вектора c .

37. Векторний добуток

c a b
b
О
c1 b a
a
c | a b | a b sin

38. Властивості:

[a , b ] [b , a ] - антикомутативність;
[ a , b ] [a , b ]; [a , b ] [a , b ]
асоціативність відносно скалярного множника;
[a b , c ] [a , c ] [b , c ]
дистрибутивність
відносно додавання;
[ a , b ] 0 означає колінеарність векторів
aіb
.

39. векторний добуток основних ортів

i
j
k
i
0
k
j
j
k
0
i
k
j
i
0

40. Вираз векторного добутку через координати

Якщо a {a x , a y , a z } b x , y , z , ,
2
2
2
тоді
i
a b x1
j
y1
k
z1
x2
y2
z2

41. Застосування: 1. умова колінеарності векторів

x1
y1 z1
x2 y 2 z 2

42. 2. Геометричний зміст

Площа паралелограма
S а b
Площа трикутника
1
S a b
2

43. 3. Фізичний зміст

Момент сили
M r F

44. Мішаний добуток трьох векторів

Мішаним добутком трьох векторів
a, b
і
c
називається
число, яке отримуємо, якщо перемножимо вектори
a
і
b
векторно, а потім отриманий вектор помножимо скалярно
на вектор
c.
a , b , c ([ a , b ], c )

45. Геометричний зміст

Мішаний добуток
некомпланарних
векторів a , b і c по модулю дорівнює
об’єму паралелепіпеда,
побудованого
на
векторах a, b , c .

46.

a, b
c
Вектори
і задані своїми координатами в
прямокутній системі координат
a x1 , y1 , z1 ; b x 2 , y 2 , z 2 , c x3 , y 3 , z 3
x1
a, b , c x2
x3
y1
z1
y2
y3
z2
z3

47. Умова компланарності

x1
y1
z1
x2
x3
y2
y3
z2 0
z3

48. Властивості:

([ a , b ], c ) (a , [b , c ])
a, b , c b , c , a c , a, b
a, b , c b , a, c

49. Подвійний векторний добуток

Подвійним векторним добутком
векторів a , b , c називається вираз виду
[ a,[b, c]] .
[a,[b, c]] b(a, c) c(a, b)

50. Завдання на самопідготовку

Законспектувати і вивчити слайди:
5-10, 19-27, 30-31, 33-35.
Шумко Л.І. , Шумко Л.Г. Вища
математика, курс лекцій, 2005.
§2.1-2.5.