Прямокутна система координат. Вектори

1. Прямокутна система координат у просторі. Вектори.

Викладач:
Коваленко О. Ю.

2. Мета

Дати уявлення про:
• прямокутну систему координат у просторі,
• про поняття точки та вектора в просторі,
• відстань між точками
• координати середини відрізка
• скалярний та векторний добуток
• кут між векторами.

3. Прямокутна система координат

При побудові прямокутної
системи координат у просторі через
деяку точку О (початок координат)
проводять 3 взаємноперпендикулярні
напрямлені прямі (координатні вісі) з
однаковим масштабом (рис 1).
Ох – вісь абсцис;
Оу – вісь ординат;
Оz – вісь аплікат.
Координати точки М у просторі
визначає права трійка координат (x; y; z)

4.

Координатні вісі на площині ділять її на
4 частини – координатні чверті. (рис 3)
Координатні площини ділять простір
на 8 частин – октанти (рис 4)
I
V
x 0
y 0
z 0
II
x 0
y 0 III
z 0
x 0
y 0 IV
z 0
x 0
VI
y 0
z 0
x 0
y 0 VII
z 0
x 0
VIII
y 0
z 0
x 0
y 0
z 0
x 0
y 0
z 0

5. Побудова точок у просторі

z
D
B
O
у
А
C
х
Побудуємо точки з
координатами (x; y; z) шляхом
послідовного перенесення
A (2; 3; 1)
B (-3; -2; 2)
C (-1;4; -5)
D (3; 0; 7)
Відкладаємо 2 кл в додатному напрямі х
Відкладаємо 3 кл в додатному напрямі у
Відкладаємо 1 кл в додатному напрямі z
Відкладаємо -3 кл y від'ємному напрямі х
Відкладаємо -2 кл у від'ємному напрямі у
Відкладаємо 1 кл в додатному напрямі z
Аналогічно для точок C і D
Якщо одна з координат 0, то
точку відносно цієї вісі не
рухаємо, а переходимо до
наступної координати.

6. Координати вектора у просторі

• Вектор – це напрямлений відрізок.
має фіксовану довжину
має фіксований напрям
• Нехай вектор ā простору задано двома точками A (x1; y1; z1) і B(x2;
y2; z2) :
де А – початок вектора, В – кінець вектора, тоді
AB x2 x1 ; y2 y1 ; z2 z1
За точками A (2; 3; 1), B (-3; -2; 2), C (-1;4; -5), D (3; 0; 7) знайдемо вектори:
AB 3 2; 2 3; 2 1 5; 5;1
CB 3 ( 1); 2 4; 2 ( 5) 2; 6;7
CD 3 ( 1); 0 4; 7 ( 5) 4; 4; 12
CD DC 4; 4; 12

7. Координати середини вектора

Координату середини вектора можна знайти за формулою:
x x1 y2 y1 z 2 z1
PAB 2
;
;
2
2
2
де Р – довільна назва точки, АВ – середину якого вектора шукаємо
Для точок A (2; 3; 1), B (-3; -2; 2), C (-1;4; -5), D (3; 0; 7) знайдемо
середини векторів АВ і CD
3 2 2 3 1 2 1 1 3
PAB
;
;
; ;
2
2 2 2 2
2
3 ( 1) 0 4 7 ( 5)
K CD
;
;
1; 2; 1
2
2
2

8. Визначення довжини вектора

Або через координати начала та кінця вектора
AB
x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
Для заданих векторів AB 5; 5;1 , CB 2; 6;7 , CD 4; 4; 12
знайдіть їх довжини.
AB
5 2 5 2 1 2
25 25 1 51
CB
2 2 6 2 7 2
4 36 49 89
4 2 4 2 12 2
16 16 144 176
CD

9. Дії над векторами

• Множення вектора на число.
Нехай ā = (x; y; z), k-const, тоді kā = (kx; ky; kz)
• Додавання векторів
Нехай ā = (x1; y1; z1 ), ḡ = (x2; y2; z2 ), тоді ā + ḡ =(x1 +x1; y1 +y2; z1+ z2 ).
Застосовуючи правила, для заданих векторів AB 5; 5;1 , CB 2; 6;7 ,
CD 4; 4; 12 знайдемо вектори 3CB 2CD, 4 AB 2CB
3CB 2CD 3 ( 2; 6;7) 2 (4; 4;12) ( 2 3; 6 3;7 3) (4 2; 4 2;12 2)
( 6; 18;21) (8; 8;24) ( 6 8; 18 ( 8);21 24) ( 14; 10; 3)
4 AB 2CB 4 5; 5;1 2 2; 6;7 5 4; 5 4;1 4 2 2; 6 2;7 2
20; 20;4 4; 12;14 20 ( 4); 20 ( 12);4 14 ( 24; 32;18)
Множимо кожну координату вектора на відповідну константу
Віднімаємо покоординатно від першого вектора другий
Додаємо покоординатно до першого вектора другий

10. Скалярний добуток векторів

Скалярний добуток векторів ā = (x1; y1; z1 ) та ḡ = (x2; y2; z2 ), у просторі
можна обрахувати за формулою
< ā, ḡ > = x1∙ x2 +y1∙ y2+ z1∙ z2
Для заданих векторів AB 5; 5;1 , CB 2; 6;7 , 3CB 2CD ( 14; 10; ,3)
4 AB 2CB ( 24; 32;18)
Знайдіть скалярний добуток
AB, CB 5 2 5 6 1 7 10 30 7 47
4 AB 2CB, 3CB 2CD 24 14 32 10 18 3 336 320 54 602
Вектори перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток
дорівнює 0

11. Кут між векторами

• Косинус кута між векторами
Обчислюється за формулою:
cos a1 ^ a2
a1 , a2
a1 a2
Для заданих векторів 4 AB 2CB ( 24; 32;18) 3CB 2CD ( 14; 10; 3)
знайдіть косинус кута між векторами
4 AB 2CB, 3CB 2CD 24 14 32 10 18 3 336 320 54 602
4 AB 2CB
24 2 32 2 18 2
576 1024 324 1924
3CB 2CD
14 2 10 2 3 2
196 100 9 305
cos 4 AB 2CB^3CB 2CD
602
1924 305
4 AB 2CB , 3CB 2CD
4 AB 2CB 3CB 2CD
602
602 586820
586820
586820

12. Векторний добуток

• Для обчислення векторного добутку складається детермінант
третього порядку, де в першому рядку знаходяться базисні орти, а
у другому та третьому рядках – координати векторів-множників.
• Тобто
• У тому випадку, коли результатом векторного добутку є нульовий
вектор то вектора-множники називаються колінеарними (на
площині) або компланарними (в просторі)

13.

• Для заданих векторів AB 5; 5;1 CB 2; 6;7
знайдемо векторний добуток
i
AB , CB 5
j
k
5 1 i
2 6 7
5 1
6 7
j
5 1
2 7
k
5 5
2 6
i 5 7 ( 6) 1 j ( 5 7 ( 2) 1) k ( 5 ( 6) ( 2) ( 5))
i ( 35 6) j ( 35 2) k (30 10) 29i 33 j 20k ( 29; 33; 20)