Введение в математический анализ. Теория пределов

1.

Математика

2. Основные разделы курса «Математика» 1 семестр

Введение в математический анализ
Теория пределов
Дифференциальное исчисление
Интегральное исчисление
Функции многих переменных

3. Литература

• 1. Математика для экономистов: учебное пособие / С.И.
Макаров. – М.: КНОРУС, 2008.
• 2. Высшая математика для экономистов: учебник для
вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н.
Фридман. – М.: ЮНИТИ, 2001.
• 3. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В.,
Шандра И.Г. Математика в экономике: учебник: в 2-х ч..
– М.: Финансы и статистика, 2003.

4. Образовательный ресурс: http://ios.sseu.ru/public/eresmat/menedg/start.htm

Учебное пособие
Практикум
Тесты по разделам программы
Вопросы к экзамену
Образцы решения задач
Методические пособия
Справочные материалы
Полезная информация

5. Лекция 1 Введение в математический анализ

6. Элементы теории множеств

• 1. Объединение множеств:
x A B x A x B
A
B
• 2. Пересечение множеств:
x A B x A x B
• 3. Разность множеств:
x A B x A x B
• 4. Дополнение множества в
другом множестве:
x C A B B A, x A x B
A
B

7. Стандартные множества

• N = {1, 2, 3, …} – натуральные числа
• Z = { N , N_, 0} – целые числа
m
• P={
, где m Z , n N,- взаимно простые} – рациональные числа
n
(конечные или периодические десятичные дроби)
• Q – иррациональные числа (бесконечные непериодические
десятичные дроби)
• R = { P Q } – действительные числа.
х R - собственные точки;
−∞, +∞, ∞ - несобственные точки.
Виды промежутков:
• [a;b] - отрезок
• (a;b) - интервал
• [a;b),(a;b] - полуинтервал.

8. Абсолютная величина (модуль) действительного числа

x, если x 0,
x
x, если x 0
Свойства модуля
x 0
x x x
x x
x a a x a
xy x y
x y x y
x
x
y
y
x y x y

9. Окрестность точки

х0 R
ε-окрестностью точки х0 называется множество точек х,
x x0
удовлетворяющих условию:
х0-έ
х0
х0+έ
x0
х
х
x
1
1
x0
х
1
x0
x
1
1
х
x
1
1

10.

А
В

11.

А
В

12.

Функциональная зависимость
А
В
КАЖДОМУ элементу множества А ставится в
соответствие ЕДИНСТВЕННЫЙ элемент множества В

13. Задание функциональной зависимости между числовыми множествами

X, Y-числовые множества
x X
, y Y
f : X Y, y
у
f(x)
y=f(x)
D(f), E(f)
0
х

14. Способы задания функции

1, x 0,
y 0, x 0,
1 x 0.
y x 2 1,
• аналитический
год
1800
1930
1960
1975
1987
2000
Численность
населения,
млрд. чел.
1
2
3
4
5
6
• табличный
• графический
• словесный

15. Свойства функций

• монотонность
x1 , x2 D( f ) : x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
x1 , x2 D( f ) : x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )

16.

• периодичность
Т 0 : f ( x Т ) f ( x)
• ограниченность
М R : f ( x) M
М R : f ( x) M
М R : f ( x) M

17.

• четность / нечетность
f ( x) f ( x )
f ( x) f ( x)

18. Обратная функция

f : X Y
f
1
:Y X
x f
1
( y)
y x2 ,
y
x
х 0
y
y x
z 2p - 4
у ln x
x
z(t) t 2 2t , t 1

19. Сложная функция

f : X Y
g :Y Z
y f ( x) x 2
z g ( y ) sin y
g f :X Z
- композиция отображений
z g ( f ( x)) sin x 2
y ln sin x
1
y arccos
x
y (5 x 2 3) 4
y 4
sin 2 x

20. Основные элементарные функции

• Линейная функция y=kx+b
у
в
0
х

21. Степенная функция

y x
n
y
1
?
x2

22. Показательная функция

y ax

23. Логарифмическая функция

y log a x
x 0, a 0, a 1

24. Тригонометрические функции и обратные к ним

y ctg x - ?
y arcsin x - ?
y arccos x - ?
y arctg x - ?
y arcctg x - ?

25.

Элементарные функции
- построены из основных элементарных функций
с помощью конечного числа алгебраических
действий и/или конечного числа
операций образования сложной функции
Алгебраические
- конечное число алгебраических
действий (полином,
дробно-рациональная функция,
иррациональная функция)
Трансцендентные
(показательная,
логарифмическая,
тригонометрические
и обратные тригонометрические
функции)

26. Преобразования графиков функций

y f(x)
y f ( x )
y f(x a)
y f(x) a
y k f(x)
y f(k x)
y f(x)
y f( x )
- симметричное отображение относительно оси Ох.
- симметричное отображение относительно оси Оу.
- параллельный перенос на а влево/ вправо.
- параллельный перенос на а вверх/ вниз.
- растяжение (для к>1) /сжатие (для 0<к<1)
в к раз вдоль оси Оу.
- растяжение (для 0<к<1) /сжатие (для к>1)
в к раз вдоль оси Ох.
- часть графика, расположенная ниже оси Ох,
отображается симметрично относительно оси Ох,
остальная часть графика не изменяется.
- часть графика, расположенная в правой
полуплоскости
копируется в левую полуплоскость.

27. Вопросы к семинару

Модуль действительного числа. Свойства модуля.
Решение неравенств вида f(x) a , f(x) a .
Окрестность точки.
Понятие функции. Область определения, область
значений функции. Образ и прообраз. Способы задания
функций. График функции. Явная и неявная функции.
Композиция функций. Обратная функция. Свойства
функций: монотонность, ограниченность, четность,
периодичность.
Основные элементарные функции, их свойства и
графики.
Элементарные функции, их классификация.
Преобразования графиков функций.