Введение в математический анализ. Предел числовой последовательности. Лекция 1

1. ЛЕКЦИЯ 1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.

ПЛАН ЛЕКЦИИ:
функция. Способы задания
1. Понятие
функции.
2. Классификация функций.
3. Предел числовой последовательности.

2. 1. Понятие функция. Способы задания функции.

3.

Опр.
1.
Переменная
величина
y
называется
функцией
от
переменной
величины х, если они связаны
между собой так, что каждому
рассматриваемому значению
величины
х
соответствует
единственное
вполне
определенное
значение
величины у.
Это определение в общих чертах было
сформулировано гениальным русским
математиком Н.И. Лобачевским
y=f(x), y=F(x) – функциональная
зависимость х и у.
f, F – характеристики функции, х –
независимая переменная (аргумент),
у – зависимая переменная.
Опр. 2. Графиком функции у=f(х) называется множество
всех точек М(х,у) плоскости хОу, координаты которых
связаны данной функциональной зависимостью.
Опр. 3. Совокупность всех значений независимой
переменной х, для которых функция определена,
называется областью определения или областью
существования функции.

4. Способы задания:

Существуют 3 способа задания
функции:
1) табличный
2) аналитический
3) графический

5. 2. Классификация функций

6.

1) Функции подразделяются
на
однозначные и многозначные.
Опр. 3. Если каждому значению
аргумента отвечает одно значение
функции, то функция называется
однозначной; если два и более, – то
многозначной (двузначной, трехзначной
и т.д.).
2) Функции, представленные
формулами, подразделяются на явные и
неявные.
3) Функции подразделяются на
элементарные и неэлементарные.

7.

Алгебраическая
функция
Трансцендентная
функция
(неалгебраическа
я функция)
• целая рациональная
функция (многочлен,
полином)
• дробно-рациональная
функция – отношение двух
многочленов
• иррациональная функция
(среди действий над
аргументом есть
извлечение корня).
• показательная функция
• логарифмическая функция
• тригонометрические и
обратные
тригонометрические
функции

8. Пример 1. Какая из данных 11 функций относится к алгебраической?

5x 3
1
Пример 1. Какая из данных
y1 2
y8
x 6
11 функций относится к
5
2
y 4 7 x 4 x
алгебраической?
y9 lg( 5 2 x)
• Алгебраическая функция:
1) целая рациональная
y10 3 x 2 7
8 x 1
2) дробно-рациональная
y7 2
3) иррациональная
y 6 arccos( x 1)
• Трансцендентная функция:
y5 4 4x 9
1) показательная
y 2 sin( 3x 2)
2) логарифмическая
y3 log 4 (6 9 x)
3
3) тригонометрические и
y11 x 4 x 2
обратные тригонометрические
3 7 x

9.

• Алгебраическая функция:
1) целая рациональная функция
y a0 x a1 x
n
n 1
... an 1 x an ,
2) дробно – рациональная функция
P x
y
,
Q(x)
где Q( x) 0
3) иррациональная функция
y n f ( x) ,
где n u n 2
где n

10.

• Трансцендентная функция:
1) показательная функция
y a ,
x
где a число, а 0, а 1
2) логарифмическая функция
у log a x,
где a число, а 0, а 1
х 0
3) тригонометрические и обратные
тригонометрические функции
y sin x,
y arcsin x,
y cos x,
y tgx,
y arccos x,
y ctgx
y arctgx,
y arcctgx

11. Пример 2. Найдите область определения для данной функции

• Решение:
• Т.к. данная функция
представляет собой дробь, то
знаменатель дроби не
должен быть равен 0.
5x 3
y1 2
x 6
Д ( у) : х 2 6 0
х2 6
х1, 2 6
Ответ:
х R, кроме х1, 2 6
х ; 6 6 ; 6
или
6 ;

12. Пример 3. Найдите область определения для данной функции

y3 log 4 (6 9 x)
2
Ответ: x
3
2
или x ;
3
• Решение:
• Т.к. данная функция
представляет собой
логарифмическую функцию,
то выражение в скобках
должно быть положительным
Д х : 6 9 x 0
9x 6
6
x
9
2
x
3

13. Пример 4. Найдите область значения для данной функции

• Решение: т.к. график данной
y 4 7 x 4 x
функции представляет собой
параболу, то необходимо знать, куда
направлены ветви параболы и найти
вторую координату ее вершины
• a= – 7<0, то ветви направлены вниз,
тогда областью значений является
следующий промежуток: ; y 0 .
Найдем вершину параболы:
4
Ответ: ;
b
2
2
4
7
x0
7
2a 2 7 7
2
2
2
4
8
4 8 4
2
2
у 0 y 7 4 7
7
49 7
7 7 7
7
7

14. Пример 5. Найдите область определения для данной функции

y5 4 4x 9
1
Ответ: x 2
4
1
или x ; 2
4
• Решение:
• Т.к. данная функция
представляет собой
иррациональную функцию, то
нужно обратить внимание на n
(n – четное число).
Д х : 4 x 9 0
4x 9
9
x
4
1
x 2
4

15. 3. Предел числовой последовательности.

Опр. 4. Если каждому числу n из натурального
ряда чисел 1, 2, 3,…, n,.. поставлено в соответствие
действительное число хn, то множество чисел
х1, х2,…, хn,… называется числовой последовательностью , числа х1, х2,…, хn,… называются
членами последовательности, хn – общий член
последовательности.
Обозначается последовательность { хn }.
Пример 6. {1/n} означает последовательность:
1, 1/2, 1/3, …, 1/n, …
Пример 7. {n} означает последовательность:
1, 2, 3, …, n, …

16.

Опр. 5. Последовательность {хn}
называется
ограниченной сверху (снизу), если существует такое
число М (m), что для любого
хn выполнено
неравенство: хn ≤ М ( хn ≥ m ).
Опр. 6. Последовательность {хn}
называется
ограниченной, если она ограничена и сверху и
снизу, т.е. существуют такие числа М и m, что для
любого хn выполнено неравенство: m ≤ хn ≤ М.
Пример 8. Последовательность
-1, -1/2, -1/3, …, -1/n, … ограничена …
Пример 9. Последовательность
-1, -2, -3,…, -n, … ограничена …

17. Предел числовой последовательности

• Опр. 6. Число b называется
пределом числовой
последовательности
х1,
х2,…, хn,…, если по мере
возрастания номера n член
хn неограниченно
приближается к b.
• Обозначение lim –
сокращение латинского
слова limes («лимес» –
предел) и равнозначного
французского limite (лимит).
• Запись:
lim xn b
или подробнее
lim x
n
n
b
Значок n
подчеркивает, что номер n
неограниченно возрастает
(«стремится к
бесконечности»).