Введение в теорию пределов

1. Введение в теорию пределов

2. Последовательность

• Опр. Числовой последовательностью x1 , x2 ,..., xn
называется функция xn f (n) , заданная на
множестве N натуральных чисел.
Кратко обозначается {xn } или xn , n N
xn - общий или n- ый член последовательности
Примеры:
1
n n 1
xn ; xn ( 1)
n
n!

3. Предел последовательности

• Число а называется пределом
последовательности {xn }, если для любого
положительного числа найдётся такое
натуральное число N, что при всех n > N
выполняется неравенство
xn a
lim n xn a
( 0 N : n N xn a ) lim n xn

4. Предел функции в точке

• Определение Коши (в терминах )
Число А называется пределом функции y f (x)
в точке х0 (при х х0), если для любого 0
найдётся число 0 , что для всех х х0 ,
удовлетворяющих неравенству x x0 ,
f ( x) A
выполняется неравенство
( 0 0 x : x x0 , x x0
f ( x) A ) lim
x x0
f ( x) A

5. Односторонние пределы

• Число А1 называется пределом функции y f (x) в
точке х0 слева, если для любого 0 существует
0 , что при x ( x0 ; x0 ) выполняется
неравенство f ( x) A1
lim x x0 0 f ( x) A1
• Число А2 называется пределом функции y f (x) в
точке х0 справа, если для любого 0 существует
0 , что при x ( x0 ; x0 ) выполняется
неравенство f ( x) A1 lim
f ( x) A
x x0 0
2

6. Предел функции в бесконечности

• Число А называется пределом функции y f (x)
при х , если для любого 0 существует такое
число М>0, что при всех х , удовлетворяющих
неравенству x M , выполняется неравенство
f ( x) A
lim x f ( x) A

7. Бесконечно большая функция

• Функция y f (x) называется бесконечно большой
при х х0 , если для любого числа М>0
существует 0 , что для всех х ,
удовлетворяющих неравенству 0 x x0 ,
выполняется неравенство f ( x) A M
lim
x x0
f ( x)

8. Бесконечно малая функция (величина)

• Функция y f (x) называется бесконечно малой
при х х0 , если lim x x f ( x) 0 (б.м.величина)
0
Величина обратная б.м.ф. есть б.б.ф:
1
если (х) - б.м.ф. ( ( х) 0 ), то
- б.б.ф,
( х)
Величина обратная б.б.ф. есть б.м.ф.:
1
f
(x
)
если
- б.б.ф. ( f ( х) 0) , то
- б.м.ф
f ( x)

9. Теоремы о бесконечно малых

Пусть (х) и (х) - бесконечно малые функции ,
А(х) – ограниченная функция. Тогда…
1. Сумма (разность) б.м.ф. есть б.м.ф.:
( х) ( х) и ( х) ( х) б.м.ф.
2. Произведение б.м.ф. есть б.м.ф.: ( х) ( х) б.м.ф.
3. Произведение б.м.ф. и ограниченной есть б.м.ф.
( х) А( х) б.м.ф.
4. Частное б.м.ф. и функции f ( x), если lim x x0 f ( x) 0
( х)
f ( x)
б.м.ф.

10. Связь между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией

• ( lim
x x0
f ( x) A) f ( x) A ( x)
f ( x) A ( x) lim
x x0
f ( x) A

11. Основные теоремы о пределах

• Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности)
их пределов:
lim x x0 ( f ( x) g ( x)) lim x x0 f ( x) lim x x0 g ( x)
• Предел произведения двух функций равен произведению их
пределов:
lim x x0 ( f ( x) g ( x)) lim x x0 f ( x) lim x x0 g ( x)
• Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
lim x x0 с f ( x) с lim x x0 f ( x)
• Функция может иметь только один предел при x x
0

12. Основные теоремы о пределах

• Предел степени с натуральным показателем равен той же
степени предела:
lim x x0 ( f ( x))n ( lim x x0 f ( x))n
• Предел дроби равен пределу числителя, делённому на предел
знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:
lim x x0
f ( x) lim x x0 f ( x)
, (lim x x0 g ( x) 0)
g ( x) lim x x0 g ( x)

13. Признаки существования пределов

• Теорема о пределе промежуточной функции.
Если функция заключена между двумя функциями, стремящимися к
одному и тому же пределу, то она стремится к этому пределу.
(lim x x0 g ( x) A и lim x x0 ( x) A; g ( x) f ( x) ( x))
lim x x0 f ( x) A
• Теорема о пределе монотонной функции.
Если функция f (x) монотонная и ограниченная
при x x0 или при x x0 , то существует соответственно её
левый предел
lim x x0 0 f ( x)
или её правый предел lim x x0 0 f ( x)

14. Замечательные пределы

• I ЗП (первый замечательный предел)
sin x
lim x 0
1
x
• I I ЗП
(второй замечательный предел)
1 x
lim x (1 ) e
x
или
1
y
lim y 0 (1 y) e

15. Эквивалентные бесконечно малые

Если ( х) и ( х) б. м.ф. при х х0 ;
( х)
lim х х
1, то
( х)
( х) и ( х) называются
0
эквивалент ными бесконечно малыми.

16. Применение эквивалентных б.м. для вычисления пределов функций

• Т. При вычислении предела функции можно бесконечно
малую функцию заменить на ей эквивалентную.
При x x0 эквивалентными б. м. являются ...
sin x ~ x ;
arcsin x ~ x ;
e x 1 ~ x ;
arctg ~ x ;
ln( 1 x) ~ x

17. Правило Лопиталя

0
вида 0
При раскрытии неопределённости
редел отношений функций равен пределу
отношений производных этих функций.