Производная в исследовании функций

1. Занятие 103. Производная в исследовании функций

Математика
Занятие 103.
Производная в исследовании
функций
1. Монотонность
2. Экстремумы

2. Повторение

Исследование функций – одно из
важнейших применений производной
Область определения
Четность/нечетность
Нули функции
Промежутки знакопостоянства
Промежутки монотонности
Экстремумы
Область значений
f(x)
f'(x)

3. Повторение

f ( 2;2), (4;6)
f ( 3; 2), (2;4)
xmin
xmax
xmin
xmax 2, xmin 2, xmin 4

4. Признаки монотонности

Пусть у=f(x) непрерывна на интервале (a;b)
и имеет производную во всех точках, тогда:
1. Если f '(x) положительна внутри (a;b),
то f(x) возрастает на (a;b)
2. Если f '(x) отрицательна внутри (a;b),
то f(x) убывает на (a;b)

5. Признаки экстремума

Достаточный признак
Если точка x0 - точка экстремума функции f(x), то в
этой точке производная функции равна нулю (т.е.
f '(x0) = 0) или не существует.
Такие точки называют критическими
Необходимый признак
Критическая точка x0 является точкой экстремума
функции f(x), если при переходе через эту точку
производная функции меняет знак, причём, если знак
меняется с "плюса" на "минус", то точкой
максимума, а если с "минуса" на "плюс", то точкой
минимума.

6. Алгоритм нахождения

1. Найдите область определения функции и
интервалы, на которых функция непрерывна.
2. Найдите производную f '(x)
3. Найдите критические точки, т.е. точки в
которых производная функции равна нулю или не
существует.
4. В каждом из интервалов на которые область
определения разбивается критическими точками,
определить знак производной и характер
изменения функции.
5. Относительно каждой критической точки
определить, является ли она точной максимума,
минимума или не является точкой экстремума.

7. Задачи

Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции:
y
1 4
x 8x 2 5
4
Решение:
D( y )
y
1 4
1
( x ) 8( x 2 ) (5) * 4 x 3 8 * 2 x x 3 16 x
4
4
x 3 16 x 0 x( x 2 16) 0 x 0 или
x1 0, x2 4, x3 4
Ответ : f ( 4;0), (4; ); f ( ; 4), (0;4)
xmax 0, xmin 4, xmin 4
x 2 16 0

8. Задачи

Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции:
y
2х
х2 4
Решение:
D( y ) 2; 2
(2 х) ( х 2 4) 2 х( х 2 4) 2( х 2 4) 2 х * 2 х 2 х 2 8 4 х 2
y
( х 2 4) 2
( х 2 4) 2
( х 2 4) 2
2х2 8
2х2 8
2
2
2
( х 4)
( х 4) 2
2х2 8
2
0
2
( х 4)
нет корней
Ответ :
f ( ; 2), ( 2;2), (2; )

9. Задачи

Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции:
у х2 2х 1
Решение:
D( y ) 2 х 1 0 x 0,5 [ 0,5; )
1
*2
2 2х 1
x2
2 x(2 x 1) x 2 5 x 2 2 x
2x 2х 1
2х 1
2х 1
2х 1
у ( х 2 ) 2 х 1 х 2 ( 2 х 1) 2 x 2 х 1 x 2 *
t 2 x 1 t 2
f ( x) 2 х 1
1
f
(
t
)
t
f
(
t
)
2 t

10. Задачи

Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции:
у х2 2х 1
Решение (продолжение):
D( y ) 2 х 1 0 x 0,5 [ 0,5; )
5x 2 2 x
у
2х 1
5x 2 2 x
0 5x 2 2 x 0
2х 1
х1 0, х2 0,4
х(5 x 2) 0
Ответ :
f ( 0,5; 0,4), (0; );
f ( 0,4;0)
xmax 0,4; xmin 0