Исследование функции с помощью производной

1.

Исследование функции с
помощью производной
Дифференцирование
показательной и логарифмической
функции

2.

Немного теории
у
y = f(x)
а
y
b
c
х
y = f(x)
х
Теорема 1. Если во всех точках открытого
промежутка X выполняется неравенство f′(x) ≥ 0
(причём равенство f′(x)=0 выполняется лишь в
отдельных точках и не выполняется ни на каком
сплошном промежутке), то функция y =f(x)
возрастает на промежутке X.
Теорема 2. Если во всех точках открытого
промежутка X выполняется неравенство f′(x) ≤0
(причём равенство f′(x)=0 выполняется лишь в
отдельных точках и не выполняется ни на каком
сплошном промежутке), то функция
y=f(x) убывает на промежутке X.

3.

Выводы:
Если существует производная функции на интервале (a;b) и в
данном интервале:
1)
f ( x) 0
, то функция в нем не убывает,
f ( x) 0 , то функция в нем не возрастает,
3) f ( x ) 0 , то функция в нем возрастает,
1) f ( x ) 0 , то функция в нем убывает.
2)

4.

Немного теории
Теорема 3. Если функция y = f(x) имеет экстремум в точке x = а, то в этой
точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.
Для удобства условимся внутренние точки области определения функции, в
которых производная функции равна нулю, называть стационарными, а
внутренние точки области определения функции, в которых функция
непрерывна, но производная не существует, — критическими.
Итак, чтобы определить экстремумы (минимумы и максимумы) функции f(x),
сначала нужно найти критические точки, в которых f'(x)=0 или же
производная не существует (и которые принадлежат области определения
функции). Тогда легко определить интервалы, в которых у производной
неизменный знак. (Критические (стационарные) точки делят реальную
числовую прямую на интервалы с неизменным знаком производной. Чтобы
определить знак производной, достаточно вычислить значение производной
функции в какой-либо точке соответственного интервала.)

5.

Теорема 4 если производная функции в критической точке
1) меняет знак с отрицательного на положительный, то это точка локального
минимума;
2) меняет знак с положительного на отрицательный, то это точка локального
максимума;
3) не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.
Алгоритм исследования непрерывной функции y=f(x) на монотонность
и экстремумы:
1. найти производную f'(x).
2. Найти стационарные и критические точки.
3. Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и
определить знаки производной на получившихся промежутках.
4. Опираясь на теоремы 1, 2 и 4, сделать выводы о монотонности функции и
о её точках экстремума

6.

1.
Исследовать функцию
y ln x 2 2 x 3 на монотонность
3
-1
Найти область
определения функции
lnx 1x
/
Найти производную
функции
Найти стационарные и
критические точки
функции
Исследовать функцию
на монотонность на
области определения
x 2 2 x 3 0,
+
x 1 x 3 0
-
+
-1
х
3
D(y) ; 1 3;
1
1
2x 2
2
y 2
x 2x 3 2
x 2x 3
x 2x 3
Производная обращается в
+ х=1 и не
нуль в точке
существует в точках
х=-1 и
х
-1 х=3, но3 они не принадлежат
области определения
функции,
ни1
Функция убывает
назначит,
;
стационарных, ни
критических
у функции
Функция возрастает
на точек
3;
нет
y y

7.

2.
Исследовать на монотонность и экстремумы функцию
Найти
производную
Найти
стационарные
и критические
точки
Отметить точки
на числовой
прямой, найти
знак
производной
Найти
максимум и
минимум
функции
y e
x3 x 2 x 1
y 0
при
y +
y
2
x
1
3
и
-
1
3
xmax
x3 x 2 x 1
1
Это стационарные точки,
критических точек нет
х
xmin
1 27
y e
3
ymin y 1 1
3x 2 2 x 1
x 1
+
32
ymax
x x x 1 e
3
y e
x 3 x 2 x 1

8.

3. Исследовать с помощью производной функцию
y x 2e x
Построить схематический график.
y 2 xex x 2e x xex x 2
y 0
при
x 0 x 2
y +
y
-
2
xmax
ymin y 0 0 ymax
/
Стоить отметить, что y
экспотенциальная функция принимает
только положительные значения, а,
значит, на знак производной этот
множитель не влияет
+
0
/
uv u v uv
/
х
xmin
4
y 2 2 0,5
e
Мы нашли две ключевые точки для
построения графика 0;0 2;0,5
-2
0
x

9.

Домашнее задание
11 Б
№1631, №1639,

10.

Домашнее задание
11 А
№№19.18, №19.36