Производная и дифференциал функции. Физический смысл производной первого и второго порядков

1.

Соловьев Андрей Владимирович
Курс: «Математика, физика»
Лекции – 16 часов
Практические занятия – 32 часа
Подготовка
1. Три практические работы: материалы для подготовки
с сайта кафедры (СГМУ).
2. Девять практических занятий (иметь при себе
выдачи лекций).
3. Четыре зачетных занятия по 4-м темам.
1

2.

Практическое занятие 1
Производная и дифференциал функции.
Физический смысл производной первого
и второго порядков.
Определенный интеграл.
Решение дифференциальных уравнений
с разделяющимися переменными.
2

3.

Связь с последующей деятельностью
Изучение теоретических курсов:
математическое моделирование
состояний организма и процессов в
тканях и органах позволяет сократить время
изучения и описания этих состояний и процессов.
Практическое применение:
1. Описание механических свойств и электровозбудимости
биологических тканей
2. Описание систем кровообращения и дыхания
3. Обработка результатов медицинских наблюдений и
воздействий
3

4.

Основная идея дифференциально-интегрального
исчисления – последовательные переходы
в соответствии с философским законом
отрицания отрицания:
дифференцирование
Сложное
интегрирование
Простое
Сложное
Поверхность тела неплоская
ST = ?
Поверхность ■ – плоская
S■ = a·b
ST = ∑ S■
4

5.

-A
Точка движется вдоль оси х
0
A
х
t
Координата х точки изменяется во времени t по
некоторому закону:
x x(t )
5

6.

Математическое описание:
1. Время t течет (изменяется) независимо →
→ t – независимая переменная (аргумент).
2. Координата х точки изменяется в зависимости только
от изменения времени t.
3. х = х(t) – зависимая от t переменная (функция).
4. Зависимость х = х(t) может быть изображена графиком:
х
А
t
-А
Т
6

7.

или описываться аналитически:
x x(t ) A cos(ωt φ0 )
А – амплитуда колебаний (максимальная координата);
Т – период колебаний;
ω – циклическая (круговая) частота колебаний;
φ0 – начальная фаза колебаний
2π
ω
2 ν
T
7

8.

х
x(t t )
t – какой-то момент времени
x(t) – координата точки в момент t
x
x(t )
t
Δt – приращение аргумента
t + Δt – следующий момент времени
t t t
t 2c t 1c
t t 3c
t
x(t + Δt) – координата точки
в момент времени t + Δt
x x(t t ) x(t ) – приращение координаты (функции)
за интервал Δt
8

9.

Средняя скорость точки в интервале времени Δt:
vCP
x
t
Мгновенная скорость точки в момент времени t:
Спидометр
9

10.

tgα CP
αСР
x
x
vCP
t
t
x
t
x
Предельный переход:
t
t 0
x 0
10

11.

x t2
x(2) 4
x(3) 9
t 2
t 1 t t 2 1 3
x x(3) x(2) 5
x 5
5
t 1
t 0,1
t t t 0,1 2,1
x(2,1) 4,41
x x(2,1) x(2) 0,41
x 0,41
4,1
t
0,1
11

12.

t 0,01
t t 2 0,01 2,01
x(2,01) 4,04
x x(2,01) x(2) 0,04
x 0,04
4
t 0,01
t 0,001
t t 2 0,001 2,001
x(2,001) 4,004
x x(2,001) x(2) 0,004
x 0,004
4
t 0,001
12

13.

Предельный переход:
αСР
t
x
t 0 x 0
x dx
lim
x x v
t 0 t
dt
Предел отношения
приращения функции
к приращению аргумента(→0) –
– производная функции по
данному аргументу (t).
Обозначается как х'.
13

14.

x dx
lim
x x v
t 0 t
dt
dt – бесконечно малое приращение (изменение) аргумента
(очень маленький промежуток времени) –
– дифференциал аргумента (времени)
Для независимой переменной (аргумента):
dt t
dx – бесконечно малое приращение функции
(очень маленькое изменение координаты) –
– дифференциал функции (координаты)
Для зависимой переменной (функции):
dx x
математика
dx x
физика
14

15.

x dx
lim
x x v
t 0 t
dt
x – обозначение производной точкой сверху →
→ аргумент (независимая переменная) – время
Выводы:
1. Мгновенная скорость точки (скорость точки в
данный момент времени) определяется производной
от функции координаты точки от времени
или
отношением бесконечно малого изменения координаты
(дифференциала координаты) к бесконечно малому
интервалу времени, за который это изменение
произошло (дифференциалу времени)
15

16.

t 0 x 0
x dx
lim
x x v
t 0 t
dt
α
t
αСР
x
Хорда → касательная
α – угол наклона
касательной к графику
функции x = x(t)
в момент времени t
2. Значение производной функции в данный момент
времени равно тангенсу угла наклона касательной:
dx
x tgα v
dt
16

17.

Оценка значения производной функции
x
α2
α1
t1
x(t1 ) tgα1
t2
t
x(t2 ) tgα 2
17

18.

i
Пример: оценка раздражающего действия
импульсного тока:
Вершина
I max
t
Хвост
τi
T
18

19.

Раздражающее действие тока (РДТ):
di
РДТ f
dt
Импульсы какой формы оказывают max РДТ?
i
i
t
t
i
i
t
t
19

20.

3. Если мгновенная скорость также, как и координата,
зависит от времени то характеристикой изменения
скорости во времени является ускорение точки:
отношение изменения (приращения) скорости
к интервалу времени, за который изменение произошло:
2
dv
d x
a
v 2 x
dt
dt
dx
v
x
dt
Ускорение определяется производной скорости по
времени или второй производной координаты по
времени
20

21.

Правила дифференцирования:
1. Постоянный множитель:
A const
Ax Ax
x A cos(ωt φ0 ) x A cos(ωt φ0 )
2. Производная алгебраической суммы:
x1 x1 (t )
x2 x2 (t )
x(t ) x1 (t ) x2 (t )
x x1 x2
21

22.

Точка одновременно участвует в двух колебаниях:
x A1 cos(ω1t φ01 ) A2 cos(ω2t φ02 )
x A cos(ω t φ ) A cos(ω t φ )
1
1
01
2
2
02
A1 cos(ω1t φ01 ) A2 cos(ω2t φ02 )
22

23.

Таблица производных элементарных функций
f (t )
A
t
n
e
t
f (t )
0
nt
e
f (t )
sin t
f (t )
cost
n 1
cost
sin t
t
ln t
1
t
23

24.

3. Производная сложной функции:
z z (t )
x x( z )
x cosωt; ω const z ωt x cos z
x (t ) x ( z ) z (t )
x sin z z sin ωt ω
Практические примеры:
x x(t ) A cos(ωt φ0 )
v x
3
v A sin(ωt φ0 ) ω
1
x ( z )
z (t )
24

25.

a v x ω2 A cos(ωt φ0 )
x A cos(ωt φ 0 )
*
Исследование функций:
1. Область определения;
2. Область значений;
3. Определение экстремумов;
4. Исследование экстремумов
Исследуемая функция должна иметь физический смысл
25

26.

Электрическая схема измерения биопотенциала:
1
r
P I R
Измерительная ИП
схема
2
ε
I
R
2
ε – источник биопотенциала (орган);
1 и 2 – точки подключения измерительного прибора (ИП);
r – внутреннее сопротивление участка между 1 и 2;
R – входное сопротивление ИП;
I – сила тока в цепи; Р – мощность, потребляемая ИП
26

27.

ε
I
R r
2
ε
P I R
R
R r
2
Лобовая атака: исследовать функцию P = f (R)
R 0;
r
P . I r
P f (I ) R
2
ε
P εI
P
ε
R 0 I P 0
r
R I 0 P 0
Имеет смысл функцию P = f (I) исследовать,
т.к. она имеет хотя бы один экстремум
(максимум)
I
27

28.

Энергетический баланс цепи:
P f ( I ) P P .
P f ( I ) εI rI 2
P Pmax , если : dP 0 ε 2rI
dI
ε
ε
I ( P Pmax )
2r R r
R r
Условие согласования источника с нагрузкой (ИП):
при согласовании электрическая мощность,
потребляемая ИП максимальна
28

29.

Эквивалентная электрическая схема участка ткани:
Клетка
RЦИТ.
Цитоплазма
CM Межклеточная жидкость (МКЖ)
RМКЖ
СЭКВ.
RЭКВ.
В процессе
жизнедеятельности
организм накапливает
избыточный положительный заряд – зарядка
конденсатора. Избыток (+) заряда – одна из причин
усталости.
29

30.

1
U
C
U const ; C const ; R const
1: q0 CU
i
i
(
t
)
2
2 : q q q(t )
R
t
t
q(t ) q0e RC CUe RC
q
I
t
dq
i
q
dt
RCt 1
i CU e
RC
U RCt
i e
R
(-) – ?
30

31.

dx
x x v
dt
Связь дифференциала функции с дифференциалом
аргумента:
dx x dt
dx vdt
Элементарное изменение
координаты за время dt
s v t
Элементарный интервал
времени
Скорость точки v = const в интервале времени dt
31

32.

v
s v t , v const
s1 2 ?
v const
v const
ds dS
Элементарный путь ds,
пройденный точкой за
элементарный интервал
времени dt:
ds vdt
t2
t
t1
dt
Путь, пройденный точкой за конечный интервал
времени Δt = t2 – t1, равен сумме элементарных путей
за все последовательные элементарные промежутки
времени:
t2
t2
Сумма → summa S
s1 2 ds vdt
t1
t1
32

33.

v
t2
t2
t1
t1
s1 2 ds vdt S
Определенный интеграл
ds dS
от некоторой функции
численно равен площади
под графиком функции,
t2
t
t1
dt
ограниченным пределами
интегрирования
Вычисление определенного
(пределами изменения
интеграла с помощью
аргумента функции).
планиметра
33

34.

Аналитически определенный интеграл вычисляется
через разность значений первообразной
подынтегральной функции при заданных
пределах интегрирования (Ньютон – Лейбниц):
t2
f (t )dt F (t ) F (t )
2
1
t1
34

35.

Таблица интегралов элементарных функций
f (t )
0
t , n 1
n
e
t
F (t )
f (t )
A
cost
F (t )
sin t
sin t
cost
1
t
ln t
1 n 1
t
n 1
et
35

36.

Большинство физических законов связывают
изменение одного параметра (аргумента = причины)
с изменением другого параметра (функции = следствия)
или
элементарные значения этих параметров
Второй закон Ньютона – дифференциальное уравнение
движения тела.
Позволяет решить основную задачу механики –
определение положения тела в любой момент времени:
Изменение скорости
F
a
m
Функция времени
d 2 x dv Fx (t )
ax x 2
dt
dt
m
Изменение времени
Свойство тела
36

37.

t
t
Fx (t )
v x (t ) ax (t )dt
dt
m
0
0
t
x(t ) v x (t ) dt
0
Дифференциальное уравнение
собственных
колебаний:
2
a v x ω A cos(ωt φ0 )
x ω2 x 0
x A cos(ωt φ 0 )
*
37

38.

Воздействие постоянного тока на биологическую ткань:
t = 0 ключ замыкается:
R
i (t )
U const
( )
( )
В момент t:
C
i i (t )
Заряд
конденсатора:
q q(t )
Мгновенные напряжения в момент t на элементах:
q
uC
uR iR
C
q
dq
U uR uC iR
i
C
dt
38

39.

Дифференциальное уравнение, описывающее
поведение конкретной системы:
dq 1
U R q
dt C
dq
CU RC
q
dt
CU q0 q (t )
dq
q0 q RC
dt
Разделение переменных и дифференциалов –
переменные к «своим» дифференциалам,
все постоянные в «общую кучу»:
dt
dq
RC q0 q
39

40.

dt
dq
RC q q0
t
t
q
dt
1
dq
dt
RC
RC 0
q q0
0
0
t
q
t
ln q q0 0
RC 0
q q0
t
q
ln q q0 ln q0 ln
ln 1
RC
q0
q0
e
t
RC
q
1
q0
t
RC
q q0 1 e
40

41.

dq
i
dt
q (t ), мкКл
q0 RCt
e
RC
i (t ), мкА
q0 CU
4
U RCt
e
R
0
0
0.5
t, с
41

42.

Дифференциальное уравнение зависимости
артериального давления в период диастолы:
p
0 kdp
dt
R C
k = const – параметр, определяющий упругие свойства
артериальной части системы кровообращения (СКО)
RПС = const – гидравлическое сопротивление
периферической части СКО
р – артериальное давление (АД) в момент времени t
dp – изменение АД за время dt
42

43.

p
kdp
dt
R C
Разделение переменных и дифференциалов –
переменные к «своим» дифференциалам,
все постоянные в «общую кучу»:
dp
1
dt
p
kR C
Интегрирование левой и правой частей с подстановкой
пределов интегрирования:
p
t
dp
1
p p kR C 0 dt
C
43

44.

В начале диастолы (нижние пределы):
t 0
p pC
В момент времени t АД равно р
p
t
dp
1
p p kR C 0 dt
C
1 dt t 0dt
Интегрирование элементарных функций:
ln p
t
1
ln p ln pC
(t 0)
kR C
44

45.

p
1
t
ln
t
pC
kR C
kR C
Потенцирование:
p
e
pC
t
kR C
Зависимость АД от времени во время диастолы:
p pC e
t
kR C
45

46.

Закон усвоения лекарственной формы:
dm λ m dt
m – масса препарата в момент времени t;
dm – масса препарата, усвоенная за время dt,
рассматриваемая, как приращение массы неусвоенного
препарата;
λ – постоянная усвоения данного препарата
m
t
dm
λdt ln m m0 λt 0
m
m m0e λt
т – масса неусвоенного препарата к моменту t;
т0 – масса препарата в начальный момент времени t = 0
46

47.

Выводы:
1. Математика – синтаксис (язык) любой
естественно-научной дисциплины.
2. Явления и процессы разной физической,
химической, биологической природы
зачастую описываются математическими
соотношениями одинаковой формы.
3. Достоверность любого исследования
(в том числе медицинского) подтверждается
только математически.
47

48.

Тема следующего занятия
Правила приближенных вычислений.
Выполнение практической работы.
Расчет погрешности результата измерения
Подготовить лабораторный журнал к выполнению
лабораторной работы №1
«Определение плотности деревянного бруска»
Сайт кафедры (СГМУ)
48