Похожие презентации:
Матрицы и определители. Линейная алгебра
1. Матрицы и определители
Линейная алгебра2. Определение матрицы
Числовой матрицейa11
размера mxn
называется
a21
совокупность чисел,
A
расположенных в виде
...
таблицы, содержащей
m строк и n столбцов
a12 ... a1n
... ... a2 n
aij
... ... ...
a
a
...
a
mn
m1 m 2
3. Основные понятия
Если m=n число строк равно числустолбцов, матрица называется
квадратной.
Если m=1– это матрица-строка или
вектор-строка
Если n=1– это матрица-столбец или
вектор-столбец
4. Основные понятия
Если все элементы матрицы кромедиагональных равны нулю, то матрица
называется диагональная.
Если диагональные элементы
диагональной матрицы равны единице,
то матрица называется единичной.
5. Основные понятия
Матрицы А и ВA B aij bij
называются равными,
i 1,...m
если они имеют
одинаковый размер и их
соответствующие
элементы равны
j 1,...n
6. Сложение матриц
Алгебраической суммой2-х равных матриц А и В
называется третья
матрица С, элементы
которой являются суммой
соответствующих
элементов А и В.
С A B сij aij bij
i 1,...m
j 1,...n
7. Умножение матрицы на число
При умножение матрицы Ана число
получается другая матрица С,
элементы которой являются
произведением элементов А
и заданного числа.
С A сij aij
0
i 1,...m
j 1,...n
8. Линейная комбинация матриц
Линейной комбинациейматриц
С A B сij aij bij
называется другая матрица С,
, 0
элементы которой
i 1,...m
определяются следующим
j 1,...n
образом:
9. Произведение матриц
Произведением матрицназывается другая матрица С,
элементы которой
определяются следующим
образом:
n
С A B сij aik bkj
k 1
i 1,...m
«строка на столбец».
j 1,...n
Число столбцов 1-ой
A B B A
перемножаемой матрицы
должно равняться числу
строк 2-ой
перемножаемой матрицы
10. Определитель матрицы
Определителем илидетерминантом
матрицы порядка n
a11 a12 a13
называется число,
A det A a21 a22 a23
вычисляемое из
элементов матрицы по
определенному правилу
a31 a32 a33
11. Определитель матрицы 1-го порядка
Определителемматрицы 1-го
порядка называется
число, равное
элементу матрицы
A det A a11 a11
12. Определитель матрицы 2-го порядка
Определителем матрицы 2-го порядка называетсячисло, вычисляемое из элементов матрицы по
следующему правилу
A det A
a11
a12
a21 a22
a11 a22 a12 a21
13. Определитель матрицы 3-го порядка – правило треугольников
(+)a11 а12 а13
Δ= а21 а22 a23
a31 a32 a33
(--)
=
a11 а12 а13
а21 а22 a23
a31 a32 a33
= a11 а22 a33 + а13 а21 a32 +а12 a23 a31–
- а13 а22 a31 – a11 a23 a32 – а12 а21 a33
=
14. Определение минора матрицы
Минором Mij элемента aijматрицы А порядка n
называется определитель
порядка (n-1), полученный из
элементов матрицы путем
a11 a12 a13
A a21 a22 a23
a a a
31 32 33
вычеркивания
i–строки и j–столбца, на
пересечении которых стоит
этот элемент
M 12
a21
a23
a31
a33
15. Определение алгебраического дополнения матрицы
Алгебраическимдополнением Aij
элемента aij матрицы А
порядка n называется
минор этого элемента
Mij, взятый со знаком
(-1)i+j
Aij ( 1)
i j
M ij
16. Вычисление определителя
Определительквадратной матрицы
равен сумме
произведений
элементов к-л. строки
или столбца на
соответствующие им
алгебраические
дополнения
m
n
i 1
j 1
A aij Aij aij ( 1) i j M ij
17. Транспонирование матрицы
Транспонированиематрицы – это
изменение мест
строк и столбцов
1 2 3
A 4 5 6
7 8 9
1 4 7
T
A 2 5 8
3 6 9
18. Свойства определителей 1
Определитель матрицы не меняется приеё транспонировании.
det A=det AT
19. Свойства определителей 2
При перестановке2-х рядов
определитель
матрицы меняет
знак на
противоположный
1 2 3
4 5 6
A 4 5 6 1 2 3
7 8 9
7 8 9
20. Свойства определителей 3
Определитель матрицыне изменится если
общий множитель
элементов к-л.
ряда вынести за
знак определителя
1 2 3
1 2 3
A 4 6 8 2 2 3 4
7 8 9
7 8 9
21. Свойства определителей 4
Определитель матрицыравен нулю, если
все элементы к-л.
1 2 3
ряда равны нулю.
A 0 0 0 0
7 8 9
22. Свойства определителей 5
Определитель матрицыравен нулю, если
элементы 2-х рядов
равны.
1 2 3
A 1 2 3 0
7 8 9
23. Свойства определителей 6
Определитель матрицыравен нулю, если
элементы 2-х рядов
пропорциональны.
1 2 3
A 3 6 9 0
7 8 9
24. Свойства определителей 7, 8
Определитель матрицыОпределитель матрицы не
равен нулю, если
изменится, если все
элементы к-л. ряда
элементы к-л.ряда
являются линейной
умножить на число и
комбинацией
прибавить к
элементов других
соответствующим
рядов.
элементам другого
ряда.
25. Свойства определителей 9
Если все элементы к-л.ряда представить в видесуммы 2-х слагаемых, то определитель можно
записать в виде суммы 2-х определителей.