Тригонометрические уравнения и неравенства. Тригонометрия

1.

Тригонометрические уравнения и неравенства
Тригонометрия
1
у
у
1 М
М
N
-1
K
0
P-1
А
1 x
-1
N
0
K
-1 P
А
1 x

2.

Содержание
Простейшие тригонометрические уравнения
Простейшие тригонометрические
неравенства

3.

Простейшие
тригонометрические
уравнения
Определение арксинуса.
Уравнение sin t = aa.
Определение арккосинуса.
Уравнение cos t = aa.
Определение арктангенса.
Уравнение tg t = a.
Определение
арккотангенса.
Уравнение ctg t = a.

4.

Определение арксинуса
Арксинусом числа а называется
такой угол из промежутка [− 0,5π; 0,5π],
синус которого равен а, где lаl ≤ 1.
arcsin a = t , sin t = a
где t ∈ [− 0,5π; 0,5π]
а ∈ [− 1; 1]
sin(arcsin a) = a, а ∈ [− 1; 1]
arcsin(sin t) = t, t ∈ [− 0,5π; 0,5π]

5.

Арксинус
sin t = а
у
π − arcsin a
arcsin a
а
π−t
t
π
0
t = arcsin a
t = π − arcsin a
0 x

6.

Определение арккосинуса
Арккосинусом числа а называется
такой угол из промежутка [ 0; π],
косинус которого равен а, где lаl ≤ 1.
arccos a = t , cos t = a
где t ∈ [ 0; π]
а ∈ [− 1; 1]
cos(arccos a) = a, a ∈ [-1; 1]
arccos(cos t) = t, t ∈ [ 0; π]

7.

Арккосинус cos t = а
у
arccos a
t
π
0
t = arccos a
t = − arccos a
а 0 x
−t
− arccos a

8.

Определение арктангенса
Арктангенсом числа а называется
такой угол из промежутка (− 0,5π; 0,5π),
тангенс которого равен а.
arctg a = t , tg t = a
где t ∈ (− 0,5π; 0,5π)
tg(arctg a) = a
arctg (−a) = − arctg a
arctg(tg t) = t, t ∈ (− 0,5π; 0,5π)

9.

Арктангенс
у
1
arctg a
t
−1
0
t = arctg a
−1
1
Линия тангенсов
а
tg t = а
x

10.

Определение арккотангенса
Арккотангенсом числа а называется
такой угол из промежутка (0; π),
котангенс которого равен а.
arcсtg a = t , сtg t = a
где t ∈ (0; π)
сtg(arсctg a) = a
arсctg (−a) = π − arcсtg a
arcсtg(сtg t) = t, t ∈ (0; π)

11.

Арккотангенс сtg t = а
у
1
Линия котангенсов
−1
t
0
arcctg a
1
x
а
t = arcсtg a
−1

12.

Простейшие
тригонометрические
неравенства
Решение тригонометрического неравенства
Решение тригонометрического неравенства sin t
< a.
Решение тригонометрического неравенства
Решение тригонометрического неравенства sin t
> a.
Решение тригонометрического неравенства
Решение тригонометрического неравенства cos t
< a.
Решение тригонометрического неравенства

13.

Решение тригонометрического
неравенства sin t < a
у
−π−arcsin a
π
а
0
arcsin a
0 x
− π − arcsina < t < arcsina
−π − arcsin a +2πn < t < arcsin a + 2πn,
n∈Z

14.

Решение тригонометрического
неравенства sin t > a
у
π−arcsin a
π
а
0
arcsin a
0 x
arcsina < t < π − arcsina
arcsin a +2πn < t < π − arcsin a + 2πn,
n∈Z

15.

Решение тригонометрического
неравенства cos t < a
у
arccos a
π
0
а 0 x
arccos a < t < 2π − arccos a
arccos a +2πn < t < 2π − arccos a + 2πn,
2π − arccos a
n∈Z

16.

Решение тригонометрического
неравенства cos t > a
у
arccos a
− arccosa < t < arccosa
а 0 x
π
− arccos a +2πn < t < arccos a + 2πn,
0
n∈Z
−arccos a

17.

Решение тригонометрического
у
неравенства
а
tg t < a
arctg a
− 0,5π < t < arctga
t > − 0,5π + πn
t < arctg a + πn, n ∈ Z
0
π
−
2
x

18.

Решение тригонометрического
неравенства у
tg t > a
а
π
2
0
arctg a
x
arctga < t < 0,5π
arctg a +πn < t < 0,5π + πn, n ∈ Z

19.

Решение тригонометрического
неравенства ctg t < a
у
arcctg a
π
0
0
x
а
arcctga < t < π
arcctg a +πn < t < π + πn, n ∈ Z

20.

Решение тригонометрического
неравенства ctg t > a
у
arcctg a
π
а
0
0
0 < t < arcctga
πn < t < arcctg a + πn, n ∈ Z
x