Неопределенный и определенный интегралы и их свойства. Применение определенного интеграла к решению прикладных задач

1.

Тема 2.2. Неопределенный и определенный
интегралы и их свойства.
Применение определенного интеграла к
решению прикладных задач
Преподаватель. Баева Ольга Анатольевна

2.

План.
1. Первообразная. Правила отыскания
первообразных.
2. Неопределенный интеграл. Правила
интегрирования.
3. Понятие определенного интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница.
4. Свойства определенного интеграла.
5. Вычисление площадей плоских фигур
с помощью определенного интеграла.

3.

3.1. Первообразная. Правила отыскания первообразных.
Опр 1. Функцию у = F(х) называют
первообразной для функции у = f(x) на
заданном промежутке X, если для всех х из X
выполняется равенство F'(х) = f(x).
Приведем примеры.
1) Функция у = х2 является первообразной для
функции у = 2х, поскольку для всех х справедливо
равенство (х2)' = 2х.
2) Функция у = х3 является первообразной для
функции у=Зх2, поскольку для всех справедливо
равенство (х3)’= Зх2.

4.

Таблица первообразных.

5.

Правила отыскания первообразных.
Правило 1. Первообразная суммы равна
сумме первообразных.
Y= F(х) + G(х)
Правило 2. Постоянный множитель можно
вынести за знак первообразной.
F(kx)=kF(x)
Правило 3. Если у = F(х) — первообразная
для функции y = f(х), то первообразной для
функции у = f(kх + m) служит функция
у = 1/k(kх + m)

6.

ПРИМЕРЫ.
Пример 1. Найти первообразную для функции
у = 2х + соsх.
Первообразной для 2x служит х2, для cosx это sinx,
значит F(x)=x2+sinx.
Пример 2. Найти первообразную для функции
y=5sinx.
Так как для sinx первообразная -cosx, то
F(x)=-5cosx
Пример 3. Найти первообразную для
функции y=sin2x.
1
сos 2 x
y ( cos 2 x), т.е. y
2
2

7.

3.2. Неопределенный интеграл. Правила интегрирования.
Теорема. Если у = F(х) — первообразная для
функции у = f(x) на промежутке X, то у
функции у = f(x) бесконечно много
первообразных и все они имеют вид у=F(х)+С.
Опр 2. Если функция у = f(x) имеет на
промежутке X первообразную у = F(х), то
множество всех первообразных, т. е.
множество функций видй у =F(х) + С,
называют неопределенным интегралом от
функции y = f(x) и обозначают
(читают: неопределенный интеграл эф от икс
дэ икс).

8.

Таблица основных неопределенных
интегралов.

9.

Правила интегрирования.
Правило 1. Интеграл от суммы функций
равен сумме интегралов этих функций:
Правило 2. Постоянный множитель можно
вынести за знак интеграла:
Правило 3. Если
то